矩阵的等价标准形的应用.docx

矩阵的等价标准形的应用
设矩阵的秩rank，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆阵Q，使
，
我们把称为A的等价标准形．熟知两个同形矩阵等价当且仅当它们具有相同的秩，即它们具有相同的等价标准形．矩阵的等价标准形能帮助我们解决许多问题．
每个方阵A均可写成，其中B是可逆阵，C是幂等阵（即）．
证设A的秩rank，则存在可逆阵P和Q，使．记，
，显然B是个可逆阵，是个幂等阵，并且．
设n阶方阵A的秩rank，证明存在可逆阵P，使的后行全是零．
证存在可逆阵P和Q，使，从而的后行全是零．
设n阶矩阵A的秩rank，证明存在非零n阶矩阵B，使．
证由例1知存在可逆阵和幂等阵，使．记，显然，且．
设n阶矩阵A，B满足，证明．
证存在n阶矩阵P，Q，使得，这里rankA，我们断言．事实上，从易知
，
，
由此显然得到，此时，从而，进而．
设n阶幂等阵A（即）的秩rank，证明存在可逆阵P，使
．
证存在可逆阵R和T，使，记，其中为r阶方阵，则
，
从即知，从而
，
因此，且，注意到的秩等于r，知r阶方阵的秩rank，必须，随之得到
．
现令可逆阵，可验证

设n阶幂等阵A的秩等于r，证明
rankrank；
trrankA；
任何实幂等阵均可分解为两个实对称矩阵的乘积．
证由例5知存在可逆阵P（当A为实阵时，P亦可取为实阵），使得
．
（i）此时，这样
rankrank．
（ii）trtrrank．
（iii）易知，显然和都是实对称阵，从而也是实对称阵．
若n阶阵A满足
rankrank，
则A是个幂等阵．
证由例2知存在可逆阵P和，其中是r阶方阵，rankA，使得
,
又从条件知的秩rank，的秩也等于，必须，即，这时

是个幂等阵，进而A是个幂等阵．
1．设A是个n阶对合阵（即），rank，证明
存在可逆阵P，使
．
rankrank．
每个实对合阵均可表为两个实对称矩阵之积．
2．若n阶阵A满足rankrank，则A是对合阵．
证注意到A是对合阵当且仅当是幂等阵，利用例5～7的结论即得．
（i）设n阶阵A的秩等于r，满足，此处．证明存在可逆阵P，使得
．
（ii）设A，B是如下的n阶矩阵：
，，
证明存在可逆阵P，使．
证（i）我们仿照例5的思路来进行．存在可逆阵R，使
，
其中是r阶方阵．从知，即
，
于是，且．注意到，的秩rank，因此，
．
记，P显然是可逆的，并且
．
（ii）显然A的秩rank，又容易验证，故据（i）即知结论．
设A是个矩阵，B是个矩阵，证明
．
证设A的秩rank，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，记分块阵，其中为r阶方阵，则有

同理可得
，
因此证明了．进一步地，
．
设矩阵A的秩等于r，证明对任意矩阵B，0是AB的至少重特征值，0是BA的至少重特征值．
证从例10的证明直接推出．
计算行列式
．
解根据例10可知

设A是个n阶可逆阵，和是两个n维列向量．证明rank当且仅当．
证由例10得，注意到，的秩rank当且仅当当且仅当，即．
设均不为0，计算行列式
．
解因均不为0，故对角阵是可逆的，由例13可得

设A是个矩阵，B是个矩阵，证明下面的Sylvester秩不等式
rankAB≥rankrank．
证设A的秩等于r，B的秩等于s，存在m阶可逆阵P，n阶可逆阵Q和R，l阶可逆阵S，使得
，，
记，其中是矩阵，则
，
注意到P、T、S都是可逆阵，rank，故
rankrankrank，
而是T中去掉后行、后列所得的矩阵，而在矩阵中去掉一行（列），矩阵的秩最多减少1，因此
rankrank．
设A、B、C是任意三个矩阵，乘积ABC有意义，证明下面的Frobenius秩不等式：
rankABC≥rankrankrankB．
证设A是矩阵，B是矩阵，C是矩阵，且设rank，则存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使．现作分块阵，，是矩阵，是矩阵，则
，
于是根据例15得到
rankrank≥rankrank
≥rankrank
＝rankrankrankB．
设矩阵A的秩等于r，证明存在可逆阵、使PA的后行全为零，AQ的后列为零．
证存在可逆阵P和Q，使得，显然的后行为零，而且的后列为零．
设A、B是两个等秩的矩阵，若存在n阶矩阵U，使，则存在可逆阵V，使．
证设A、B的秩等于r，从例17知存在可逆阵P和Q，使
，，
其中，都是秩为r的矩阵．现作适当的分块，，则有
，
，
从而，并且进一步可得
，
注意到的秩等于r，故r阶方阵的秩也等于r，即是可逆的，于是有

显然是可逆的，我们把它的逆记为V，则．
试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法．
解设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程组可化为
，
记，则原方程组等价于
，
即．令，容易验证都是的解，从而它们构成的一基础解系．□