矩阵等价标准形及其应用.doc

(完整word版)矩阵等价标准形及其应用(完整word版)矩阵等价标准形及其应用(完整word版)矩阵等价标准形及其应用矩阵等价标准形及其应用学生：姜旭东指导教师：张姗梅（太原师范学院数学系数学与应用数学专业20041011班)摘要矩阵的等价关系是矩阵理论中最基本的一个概念，本文利用矩阵的等价标准形，给出矩阵的分解、矩阵方程、矩阵秩的讨论、以及线性方程组解的理论.本文给出了矩阵的满秩分解定理,并通过例子给出求矩阵满秩分解的方法；并举例分析了有关矩阵分解的若干问题；本文利用矩阵的等价标准形讨论了矩阵方程，对系数矩阵为矩阵的线性方程组，给出了类似于系数矩阵为可逆方阵的线性方程组的理论；本文讨论了有关矩阵秩的若干问题；从等价标准形的角度给出了齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解法.关键词矩阵的秩等价标准形矩阵方程线性方程组1、矩阵等价标准形的概念定义1、设A、B，如果A经过有限次初等变换可以变成B，则称A与B是等价的.显然，矩阵的等价关系是上的一个二元关系,可以证明，这种关系具有反身性，对称性，传递性。因此,由矩阵的等价类组成的集合是的一个分类.由于矩阵的初等变换可以利用初等矩阵及矩阵的乘法来实现，且一个矩阵可逆的充要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积，因此有：定理1、A、B，则A与B等价的充分必要条件是存在数域F上的s阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.证明:见北大版《高等代数》。P190定理6和推论1.在每一个等价类中，我们希望选取一个代表，它不但具有这一类中矩阵的一些特征，且其形式是最简单的，那么这个形式简单的代表就有了较高的应用价值，我们把它叫做矩阵的等价标准形。定理2、设A,且r(A)=r，则A与等价，称为矩阵A的等价标准形，如果r(A）=0,则A的等价标准形是零矩阵。定理3、设A，B，则A与B等价的充分必要条件是r(A)=r（B）.这个定理说明了，同一等价类中的矩阵，由于它们彼此等价，故有相同的秩，反过来，中秩相同的矩阵必在同一等价类中因此得到：推论1、集合中，秩为r的所有矩阵恰好组成一个等价类，其中0rmin{s，n｝;从而一共有min{s，n｝+1个等价类.推论2、设A，且r（A)=r（0），则存在数域F上的s阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得A=PQ.2、矩阵等价标准形的应用由于在数域F上的sn矩阵集合中，同一等价类的矩阵有相同的秩,且具有相同秩的矩阵在同一等价类中，因此矩阵的秩是集合在等价关系下的完全不变量，从而在研究有关矩阵的一些问题时,我们就可以先求出矩阵A的等价标准形D，由于矩阵D的形式比较简单,它的性质容易研究，由此可以了解矩阵A的性质。2.1矩阵的分解定理4、设A，且r（A）=r（0）,则存在数域F上的sr列满秩矩阵与rn行满秩矩阵使得A=.证明：法一：r(A)=r,存在可逆矩阵P使得PA=其中是秩为r的rn矩阵,P是ss可逆矩阵，因此A=将分块=(,)其中是列满秩矩阵,是s(s—r）是列满秩矩阵A==（，)=其中为sr列满秩矩阵，为rn行满秩矩阵。法二：从A的等价标准形做起,设秩（A)=存在可逆矩阵P,Q使得，A=PQ=PQ=,其中=P是sr列满秩矩阵，=Q是为rn行满秩矩阵.定理5.设A为数域F上的任一n阶方阵，则A=TB，其中T为可逆矩阵，B为幂等矩阵.证明：设r（A）=r,则存在n阶可逆矩阵P和Q，使A=PQ.1.r=0时，A=TB=0，结论成立.2.r＞0时,A=PQQ，则令T=PQ，B=Q，则B=,A=TB，且T可逆，结论成立.所以，数域F上任一n阶方阵,可分解为一可逆矩阵与一幂等矩阵的乘积.求矩阵A=的满秩分解。解=，其中=，P==，由=的前两列构成=，则A=。结论：需要指出的是矩阵A的满秩分解不是唯一的，若取一个r阶可逆矩阵C,则A====，为A的又一满秩分解,所以满秩分解不唯一。例2、证明每个秩r的矩阵可以表为r个秩1的矩阵之和．证:设矩阵A的秩为r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使．现记，,…，显然这r个矩阵的秩均为1，且满足．例3、秩为r的实矩阵A有分解式A=U,其中，W=，U，V都为正交阵,且＞0，i=1，2，,r.证明：实矩阵A的秩为r，故存在阶可逆实矩阵G和阶可逆实矩阵H，使得A=GH，对G与进行分解：G=R,=，其中，与分别为阶及阶正交矩阵，R与L分别为可逆上三角与下三角阵，因而有A==，为阶可逆实矩阵，则存在正交阵与使得，=，＞0，i=1，2,，r。（见王品超，高等代数新方法，P337，问题70)令，，则U，V均为正交阵，且满足条件。例4、证明：非零实对称矩阵A是幂等矩阵，即满足=A的充要条件是，存在矩阵，==,使A=P。证明：必要性，由条件可知，存在正交矩阵T，使AT=，故,A=T=T，令P=T，则,P=T=，故A=T=P,且