第81章小波与小波变换.docx

第8章小波与小波变换
小波分析是近十几年才发展起来、并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继110多年前的傅立叶分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。
小波分析已经广泛应用于数值分析、曲线曲面构造、微分方程求解、信号处理（滤波、去噪、压缩、传递）、图像处理、量子场论、理论物理、地震勘测、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断、监控、分形、数字电视等领域。
小波在图像处理中可以用到图像恢复（去噪）、图像增强、图像分割、图像检索、图像配准、图像重建等领域。
MATLAB提供了小波专用工具箱和工具箱的GUI图形用户界面，使得小波应用更加方便。GUI包括一维小波分析工具类、二维小波分析工具类、显示工具类、特殊小波工具集和扩展工具集。
小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深人研究小波理论和应用提供一些背景材料。

小波课堂演示程序说明：
T21_FFT_sine.m 傅立叶变换
T22_FFT_square.m 傅立叶级数
T9_wavelet5.m 小波分解高低频
T9_wavelet6.m 小波时频分析
T9_wavelet812.m 小波图像压缩

8．1小波介绍
8．1．1小波简史
傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶展开式表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。
傅立叶变换示意图

t
f(t)
富氏变换
f
F(f)

频率域
时间域

从ω轴看过去，看到的是时域信号，例如交响乐的音频信号。
从t轴看过去，看到的是频域信号，包含小提琴的高音和大提琴的低音。
时域与频域的变换的桥梁是傅立叶变换。
B
ω
白光
红绿兰

从ω轴看过去，看到的是白光，例如太阳光、电视机、计算机显示器，
从B轴看过去，看到的是可见光谱，红橙黄绿青兰紫，
白光通过棱镜，由于折射率不同，分解出红橙黄绿青兰紫。
“FOURIER分析和小波分析在信号时频分析中的特性比较”刘海青，傅立叶的缺点表现在图1中第一个信号是两个频率的叠加，第二个信号是两个频率的接续，不同的时域信号对应相同的频谱，傅立叶变换结果不能区分两种不同的情况。因为傅立叶只能给出频谱信息，而没有时间信息。

小波可以克服这个缺点。
20世纪初，哈尔(AlfredHaar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶基类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haarwavelets)，他最早发现和使用了小波。（葛：基的重要性，在计算机图形学中有关曲线绘制和曲线拟合中经常使用的贝赛尔曲线和B样条曲线其性质完全决定于它的基函数，研究探索新的基函数就可能有新的发现！）
20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换(wavelettransform，WT)的概念。
（葛：生产和实际的重要性，曲线曲面对于飞机汽车等的外型设计工业具有重要意义，因此1963年以来，美国波音飞机公司，通用汽车公司，法国雷诺汽车公司，雪铁龙汽车公司，以及各国的大学及研究机构投入极大的人力物力和财力用于曲线曲面的理论基础、表示方法和实际应用的研究，取得巨大的成绩。由此可见生产部门对于这个理论问题的重视程度和影响深度。有关曲线和曲面的理论的发展有赖于生产实际的推动。实践提出问题，理论指导方向，生产推动前进。生产需求是科技发展的源动力。）
进入20世纪80年代，法国的科学家Y．Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分析方法。Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波得到真正的发展。
小波变换的主要算法则是由法国的科学家StephaneMallat在1988年提出。他在构造正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。
InridDaubechies，RonaldCoifman和VictorWiekerhauser等著名科学家把这个小波理论引人到工程应