点直线平面之间的位置关系复习课.docx

MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter1Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r1\h\*MERGEFORMAT 第二章点、直线、平面之间的位置关系复习课
一、空间点、线、面间的位置关系
【例题1】如图所示，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG=BC，CH=DC，求证：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）三直线FH，EG，AC共点.

【答案】如图（1）连接EF，GH，由E，F分别为AB，AD中点，∴EFBD，由CG=BC，CH=DC，∴HGBD，∴EF∥HG且EF≠HG，∴EF，HG可确定平面α，∴E,F,G,H四点共面；

（2）由（1）知EFHG为平面图形，且EF∥HG，EF≠HG.，∴四边形EFHG为梯形，设直线FH∩直线EG=O，∵点O∈直线FH，直线FH面ACD，∴点O∈平面ACD，同理点O∈平面ABC，又面ACD∩面ABC=AC，∴点O∈直线AC（公理2），∴三直线FH，EG，AC共点.

【变式训练1】如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由；
（1）直线AC1平面CC1B1B；
（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O，O1，平面AA1C1C平∩面BB1D1D=OO1；
（3）点A，O，C可以确定一个平面；
（4）由点A，C1，B1确定的平面是ADC1B1；
（5）由A，C1，B1确定的平面和由A，C1，D确定的平面是同一平面；

【变式训练2】如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过E，F，G的平面交AD于H，连接EH.
（1）求AH:HD；
（2）求证：EH，FG，BD三线共点.

二、直线、平面平行的判定与性质
【例题2】如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E、F分别是棱CC1、BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.
(1)当点M在何位置时，MB∥平面AEF;
(2)若MB∥平面AEF，判断MB与EF的位置关系，说明理由，并求MB与EF所成角的余弦值.

【答案】(1)如图，当M是线段AC中点时，MB∥平面AEF.取AE中点N，连接NF,MN，则MN∥CE∥BF,，，∴MN=BF，MN∥BF，∴MNFB是平行四边形，MB∥BF，又∵ 平面AEF，平面AEF，∴MB∥平面AEF；

(2)MB与EF是两条异面直线.∵EF平面BB1CC1,B∈平面BB1CC1,B直线EF,M平面BB1CC1，∴MB与EF是异面直线
由(1)知MB∥NF,∴∠EFN就是异面直线MB与EF所成的角，由平面ABC⊥平面AA1CC1，BM⊥AC,知MB⊥平面AA1CC1，又NF∥MB,∴FN⊥平面AA1CC1∴FN⊥AE，而N是AE的中点,∴EF=AF=，NF=BM=，在Rt△EFN中,cos∠EFN=.即所求角的余弦值为.
【变式训练3】如图所示，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点．
(1)求证：平面．
(2)求的长．
(3)求证：平面．

【变式训练4】如图，四边形ABCD为矩形，M，N分别是EC与AB的中点，求证：MN平面ADE.
M
D
N
B
C
E

A

【例题3】如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，截面与棱AB，CD都平行.
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围。

D
B
C
E
G
F
A
H

【答案】(1)∵AB∥面EFGH，AB面ABC，面ABC∩面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理AB∥GH，∴EF∥GH，又∵CD∥面EFGH，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形；
(2)设，由(1)知EF∥AB，∴，即，∴EF=4x，又∵GH∥CD，∴，即，∴EH=6(1-x)，∴四边形EFGH的周长为l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，∵0<x<1，∴8<l<12.

【变式训练5】如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，截面为平行四边形.
求证：截面EFGH与棱AB，CD都平行；
(2)当对棱AB，CD满足什么位置关系时，平行四边形EFGH为矩形？说明理由；
(3)若AB=4，CD=6，当平行四边形EFGH为矩形时，求它面积的最大值，并求此时点E、F、G、H的位置。
D
B
C
E
G
F
A
H

三、直线、平面垂直的判定与性质
【例题4】如图，ABCD为矩形，PA