浅谈分块矩阵的性质及应用.docx

浅谈分块矩阵的性质及应用
摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。
关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换

Onthenatureofblockmatrixanditsapplication

Abstract:thisthesisusestheblockingmatrixmethodintoprovingandapplyingthelinearalgebra,triestosolvethelinearequations,andtheproofofotherrelativematrixrankandelementarymatrix.
Keywords:Blockmatrix;Linearalgebra;rankofmatrix;elementarymatrix.
前言：
矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。
预备知识：
1.1分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。
1.2分块矩阵的运算：
分块矩阵的加法：
设分块矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有
A=，

其中与的行数相同，列数相同，那么A+B=

分块矩阵与数的乘法：
A=,
设A为矩阵，B为矩阵，分块成

其中，……，的列数分别等于，……，的行数，那么
，其中(i=1……s；j=1，……，r)
设，则
分块矩阵的性质及应用：
2.1分块矩阵的性质：
设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
A=，其中（i=1，2……，s）都是方阵，那么称A为分块对角矩阵，分块矩阵的行列式一般据有下列性质
，由此性质可知，若0()则，并有

例：设A=求
解：=，其中，
，，所以
将分块矩阵与初等变换结合在矩阵运算及球逆矩阵中具有重要作用：
现将某个单位矩阵如下进行分块：对其进行行（列）对换等作用，可得到如下类型一些矩阵：
用这些矩阵左乘或右乘任一个分块矩阵，只要分块乘法能够进行，其结果就是对它进行相应的变换，如，适当选择P可使=0，例如A可逆时，选则，于是上式的右端可成为，其在求逆矩阵方面是非常有用的，
例1：，AD可逆，求
解：由及
易知=
例2：，设可逆，D可逆，试证存在，并求
解：由，而又端仍可逆故存在再由上题例1可知=
2．3分块矩阵在证明关于矩阵乘积的秩的定理中的作用：
例：设A是数域P上矩阵，B是数域P上矩阵，于是秩（ＡＢ）秩（Ａ），秩（Ｂ），即乘积的秩不超过各因子的秩
证明：只需证明秩秩，同时秩秩，分别证明这两个不等式
设，
令表示Ｂ的行向量（即对Ｂ进行分块）表示AB的行向量，由计算可知，的第个分量和的第的分量都等于，因而即矩阵的行向量组可经由B的行向量组线性表示出所以的秩不能超过B的秩，即秩秩
同样，令表示的列向量，表示的列向量，由计算可知，这个式子表明，矩阵的列向量组可由矩阵的列向量组线性表示出，因而前者的秩不仅＼可能超过后者的秩，这就是说秩秩
（注：在此证明中用分块矩阵的方法，即这就是的一种分块，按分块相乘就有很容易看出的行向量是的行向量的线性组合）
２.４分块矩阵在线性方程组方面的应用
对于线性方程组记，，，，为系数矩阵，为未知向量，为常数项向量，为增广矩阵按分块矩阵记法可记为或此方程也可记为，把系数矩阵按行分成块，则可记做＝把系数矩阵按列分成块，则与相乘的对应按行分成块，记作，即，其都为线性方程组的各种变形形式，在求解过程中变形以更方便快捷
例：利用分块矩阵证明克拉默法则：对于个变量个方程线性方程组
如果他的系数行列式，则它有唯一解，即
证明把方程组改写成矩阵方程，这里为阶矩阵，因，故存在，令，有表明是方程组的解向量，由，有，即，根据逆矩阵的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩阵公式，有即即
结束语：矩阵得分快不算是一个抽象的概念，我们能够清楚的了解知道并掌握它的概念及性质，进而能够灵活的运用，这样对我们今后的学习与研究都会有很大的帮助。
参考文献：《高等代数》
《线性代数》

2.2降分亏秤发育初等变换结合