数值计算方法比较.docx

有限差分方法(FDM:FiniteDifferenceMethod)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。有限差分法主要集中在依赖于时间的问题（双曲型和抛物型方程）。有限差分法方面的经典文献有Richtmeyer&Morton的《DifferenceMethodsforInitial-ValueProblems》；R.LeVeque《FiniteDifferenceMethodforDifferentialEquations》；《NumericalMethodsforConservationLaws》。
注：差分格式：
（1）从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
（2）从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
（3）考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法：
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限差分法的不足：由于采用的是直交网格，因此较难适应区域形状的任意性，而且区分不出场函数在区域中的轻重缓急之差异，缺乏统一有效的处理自然边值条件和内边值条件的方法，难以构造高精度(指收敛阶)差分格式，除非允许差分方程联系更多的节点(这又进一步增加处理边值条件韵困难)。另外它还有编制不出通用程序的困难。

有限差分法的优点：该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，精度可选而且在一个时间步内，对于一个给定点来说其相关的空间点只是与该相邻的几点，而不是全部的空间点。是发展较早且比较成熟的数值方法
广义差分法（有限体积法）（GDM:GeneralizedDifferenceMethod）：1953年，Mac—Neal利用积分插值法(也称积分均衡法)建立了三角网格上的差分格式，这就是以后通称的不规划网格上的差分法．这种方法的几何误差小，特别是给出了处理自然边值条件(及内边值条件)的有效方法，堪称差分法的一大进步。1978年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广——局部Taylor展式的公项，将积分插值法改写成广义Galerkin法形式，从而将不规则网格差分法推广为广义差分法.其基本思路是，将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。广义差分法应用最多的领域之一是电磁场的计算，另一个应用最多也最成功的领域是流体力学和地下流体力学。
广义差分法的优点：既最大限度的保持了差分法的简单性，又兼有有限元法的精确性
(1)网格剖分灵活(包括三角剖分、四边形剖分)，几何误差小，便于处理自然边值条件．
(2)工作量比有限差分法大，比有限元法小．但精确度比有限差分法高，与有限元法的收敛阶相
同(计算表明精确性略低于有限元法)．
(3)保持物理量的局部守恒．这对流体及地下流体计算是重要的．
(4)广义差分法的理论几乎和有限元法达到同样完善的程度．特别是，由一次元广义差分法的误
差估计便导致有限差分法和不规刚网格差分法的一般理论．
(5)广义差分法的变分形式(广义Galerkin形式)有助于沟通有限元法和差分法的理论和算法．

有限体积法和有限差分法的区别：一个区别就是有限体积法的截断误差是不定的（跟取的相邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截断误差（微分方法离散方程）。有限体积法和有限差分法最本质的区别是，前者是根据积分方程推导出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决与对导数处理的精度，一般有限体积法总体的精度为二阶，有限体积法对于守恒型方程导出的离散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助Taylor展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度也和有限体积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一