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第一章信号的分类与描述
1-1求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
图1-4周期方波信号波形图
0
t
x(t)

…
…
A
-A

解答：在一个周期的表达式为

积分区间取（-T/2，T/2）

所以复指数函数形式的傅里叶级数为
，。

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn|
φn
π/2
-π/2
ω
ω
ω0
ω0
3ω0
5ω0
3ω0
5ω0
2A/π
2A/3π
2A/5π
幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
2A/5π
2A/3π
2A/π
-ω0
-3ω0
-5ω0
-ω0
-3ω0
-5ω0

1-2求正弦信号的绝对均值和均方根值。
解答：

1-3求指数函数的频谱。
解答：

单边指数衰减信号频谱图
f
|X(f)|
A/a
0
φ(f)
f
0
π/2
-π/2

1-4求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。
t
sgn(t)
0
1
-1
t
u(t)
0
1
图1-25题1-4图
a)符号函数
b)阶跃函数

a)符号函数的频谱

t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。

符号函数
t
x1(t)
0
1
-1
符号函数频谱
f
φ(f)
0
π/2
0
f
|X(f)|
-π/2

b)阶跃函数频谱

在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
解法1：利用符号函数

结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
单位阶跃信号频谱
f
|U(f)|
0
(1/2)
f
φ(f)
0
π/2
-π/2

解法2：利用冲激函数

根据傅里叶变换的积分特性

1-5求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。
图1-26被截断的余弦函数
t
t
T
-T
T
-T
x(t)
w(t)
1
0
0
1
-1

解：
w(t)为矩形脉冲信号

所以
根据频移特性和叠加性得：

可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
f
X(f)
T
f0
-f0
被截断的余弦函数频谱

1-6求指数衰减振荡信号的频谱
指数衰减振荡信号
x(t)

解答：

所以
单边指数衰减信号的频谱密度函数为

根据频移特性和叠加性得：

0
0
X(ω)
-π
π
φ(ω)
ω
ω
指数衰减信号的频谱图

1-7设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若时将会出现什么情况？
图1-27题1-7图
ω
F(ω)
0
f(t)
0
t
-ωm
ωm

解：

所以
根据频移特性和叠加性得：

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。
f
X(f)
ω0
-ω0
调幅信号频谱

若将发生混叠。
1-8求正弦信号的均值、均方值和概率密度函数p(x)。
解答：
(1)，式中—正弦信号周期
(2)
(3)在一个周期内

x(t)
正弦信号
x
x+Δx
Δt
Δt
t

第二章测试装置的基本特性
2-1进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为3.5MPa时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？
解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即
S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。
偏移量：y=S3.5=9.093.5=31.815mm。
2-2用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？
解：设一阶系统，
，T是输入的正弦信号的周期
稳态响应相对幅值误差，将已知周期代入得