抛物线及其标准方程教案.docx

抛物线及其标准方程
我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？
把一根直尺固定在图板上直线l的位置(图8－19)．把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F．用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．
从图8－19中可以看出，这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线l的距离相等．把图板绕点F旋转90°，曲线就是初中见过的抛物线．

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
下面根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程．
如图8－20，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．

设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
由抛物线的定义，抛物线就是集合
P={M||MF|=d}．

将上式两边平方并化简，得
y2＝2px(p＞0)．①
方程①叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的

一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同．所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px，x2=2py，x2=－2py．这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下：

例1(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

线的标准方程是：x2=－8y．
抛物线的简单几何性质

我们根据抛物线的标准方程
y2＝2px(p＞0)①
来研究它的几何性质．

1．范围
因为p＞0，由方程①可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1
5，焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②
6.若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过

解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，

y2=2px(p＞0)．
因为点M在抛物线上，所以

即
p=2．
因此所求方程是
y2=4x．

的范围内几个点的坐标，得

描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分(图8－23)．

在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．

这就是标准方程中2p的一种几何意义(图8－24)．利用抛物线的几何性

抛物线基本特征的草图．

例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。
解：（1）（2，）
连PF，当A、P、F三点共线时，最小，此时AF的方程为即y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交点为()，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（）
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R三点共线时，最小，此时Q点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，∴Q()
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
练习、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是

直线与圆锥曲线的位置关系
一，相交：直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物