插值与拟合.docx

第七讲插值方法与数据拟合

§7.1引言

在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)揭示自变量x与因变量y之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y=f(x)来表示。函数f(x)的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。

§7.1.1插值方法

引例1已经测得在北纬32.3海洋不同深度处的温度如下表：

表7.1.1
深度x(m)46671495014221634水温y(C)7.044.283.402.542.13
根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。
解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。
2．插值问题的基本提法
对于给定的函数表

xx0x1…xny=f(x)y0y1…yn
其中f(x)在区间[a,b]上连续，x0，x1，…，xn为[a,b]上n1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)}中，选出一个使
P(xi)=yi，i=0,1,…,n(7.1.1)
成立的函数P(x)作为f(x)的近似，这就是最基本的插值问题（见图）。
为便于叙述，通常称区间[a,b]为插值区间，称点x0，x1，…，xn为插值节点，称函数类{P(x)}为插值函数类，称式(7.1.1)为插值条件，称函数P(x)为插值函数，称f(x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称为插值法。

§7.1.2数据拟合

引例2在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下：

表7.1.2
时间t（分）12345678浓度y1034.006.408.008.809.229.509.709.86时间t（分）910111213141516浓度y10310.0010.2010.3210.3210.5010.5510.5810.60
根据这些数据，我们希望寻找一个y=f(t)的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1,4.00），…,（16,10.60），求函数y=f(t)的图象的一条拟合曲线。
数据拟合问题的基本提法
对于给定的函数表

xx0x1…xny=f(x)y0y1…yn
其中f(x)在区间[a,b]上连续，x0，x1，…，xn为[a,b]上n1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式(x)，使(x)与f(x)在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图）。
通常，我们称(x)为给定数据点的拟合函数。

图7.1.1插值问题示意图图7.1.2数据拟合问题示意图

§7.1.3插值方法与数据拟合的基本理论依据

插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的Weierstrass定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对>0，存在多项式P(x)，使得
。
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。

§7.1.4实际应用中两种方法的选择

在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑：
1．如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。

§7.2一维数据的基本插值方法简介

插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是[a,b]上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值，及其Matlab实现。

§7.2.1一维数据的分段多项式插值

对于给定的一维数据

xx0x1…xny=f(x)y0y1…yn
分段多项式插值就是求一个分段（共n段）多项式P(x)，使其满足P(xi)=yi（i=0,1,…,n）或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。
分段线性插值y
分段线性插值函数P1(x)是一个分段一次多项式（分段线f(x)
性函数）。在几何上就是用折线代替曲线，如图，故分段
线性插值亦称为折线插值。其插值公式为P(x)
，x[xi,xi+1](7.2.1)0x0x1xn-1xnx
2．分段二次插值图分段线性插值示意图
分段二次插值函数P2(x