插值与拟合(使用插值还是拟合).doc

利用matlab实现插值与拟合实验

张体强1026222
张影
晁亚敏

[摘要]：在测绘学中，无论是图形处理，还是地形图处理等，大多离不开插值与拟合的应用，根据插值与拟合原理，构造出插值和拟合函数，理解其原理，并在matlab平台下，实现一维插值，二维插值运算，实现多项式拟合，非线性拟合等，并在此基础上，联系自己所学专业，分析其生活中特殊例子，提出问题，建立模型，编写程序，以至于深刻理解插值与拟合的作用。

[关键字]:
测绘学插值多项式拟合非线性拟合
[Abstract]:insurveyingandmapping,whetherthegraphicsprocessing,ortopographicmapprocessingandsoon,areinseparablefromtheinterpolationandfittingapplication,accordingtotheinterpolationandfittingtheory,constructthefittingandinterpolationfunction,understandingitsprinciple,andMATLABplatform,achieveone-dimensionalinterpolation,two-dimensionalinterpolation,polynomialfitting,non-linearfitting,andonthisbasis,tocontacttheirstudies,analysisoftheirlivinginaspecialexample,putforwardthequestion,modeling,programming,sothatadeepunderstandingofinterpolationandfittingfunction.
[Keywords]:
Surveyingandmappinginterpolationpolynomialfittingnonlinear

一:引言
通常在生产实际及科学研究中，我们经常要研究变量之间的函数关系y=f(x)，若f(x)的表达式很复杂，或f(x)只是一张数据来表示，这都给研究带来困难，因此我们希望用一个函数P(x)来代替它，把研究f(x)的问题转化成研究，由于近似含义不同，就有插值和拟合两种情况。Matlab是一款功能强大的科学数学计数器，利用matlab可以成功的完成插值与拟合等任务，在编写插值与拟合程序前，本人从以下步骤分析和实现插值与拟合。
拉格朗日插值原理
拉格朗日插值多项式构造

拉格朗日事例分析

二维插值
一维插值

插值与拟合实际建模与分析

非线性最小二乘拟合法和事例
多项式拟合和事例
拟合的方法

图1插值与拟合分析流程图

二：拉格朗日插值原理和插值多项式构造
一般地，已知函数y=f(x)在互异的n+1个点x0,x1,…….xn处的函数值y0,y1,y2…….yn就是构造一个多项式Ln(x)。
如果一个n次多项式在n+1个互异的节点x0,x1,…….xn满足

则称
为节点上的n次插值基函数，那么我们可以求出插值基函数为：

于是满足条件，则称n次插值多项式Ln(x)为

则Ln(x)为拉格朗日插值多项式。记插值余项为以下：

则

于是：

上面公式为完整的拉格朗日插值公式。

三：拉格朗日插值事例分析
1：一维插值
Matlab在计算一维插值函数时使用函数interp1，该函数提供了四种插值函数方法选着，分别是：线性插值，三次样条插值，三次插值和最近点插值（linear，spline，cubic，nearest），其基本格式是：
Intrer1（x,y,cx,’method’）
其中x，y分别表示为数据点的横纵坐标，x必须单调，cx为需要的插值的坐标，不能超过x的范围，
例：在12个小时内，东海某一特殊区域每相隔一小时水温大致分布如下：5,7,9,16,24,28,31,29,22,25,27,24.现在利用此数据分析东海该区域在第3.5小时，6.3小时.7.2小时的水温。
解：在matlab程序中输入以下程序
hours=1:12;
temps=[5,7,9,16,24,28,31,29,22,25,27,24];
t=interp1(hours,temps,[3.5,6.3,7.2]);
t=

12.500028.900030.6000

2：二维插值
在我们海洋测绘专业中，二维插值无处不在，在画海图的时候计算其水深分布，危险物分布，水温分布等，在山区测绘工作中用的十分广泛，例如画山区山形图，山形图像处理（如平滑，锐化）等，让其图像更清晰等，而matlab二维插值有以下：
‘nearest’最邻近插值；