实验七概率论、数据统计与区间估计.docx

项目七概率论、数据统计与区间估计

实验1概率模型
实验目的通过将随机试验可视化,直观地理解概率论中的一些基本概念,从频率与概率的关系来体会概率的统计定义,并初步体验随机模拟方法.通过图形直观理解随机变量及其概率分布的特点.通过随机模拟直观加深对大数定律和中心极限定理的理解.

基本命令
1.调用统计软包的命令<<Statistics`
进行统计数据的处理,必须调用相应的软件包,首先要输入并执行命令
<<Statistics`
以完成数据统计的准备工作.
2.调用作图软件包的命令<<Graphics\Graphics.m
用Mathematica作直方图,必须调用相应的作图软件包,输入并执行
<<Graphics`
这时可以查询这个软件包中的一些作图命令的用法.如输入
??BarChart
则得到命令BarChart的用法说明;如果没有,则说明调用软件包不成功,必须重新启动计算
机,再次调用软件包.

实验举例

频率与概率
例1.1(高尔顿钉板实验)(教材例1.1)自高尔顿钉板上端放一个小球,任其自由下落.在其下落过程中,当小球碰到钉子时从左边落下的概率为p,从右边落下的概率为碰到下一排钉子又是如此,最后落到底板中的某一格子.因此任意放入一球,则此球落入哪个格子事先难以确定.设横排共有排钉子,下面进行模拟实验:
(1)取自板上端放入一个小球,观察小球落下的位置;将该实验重复作5次,观
察5次实验结果的共性及每次实验结果的偶然性;
(2)分别取自板上端放入n个小球,取观察n个小球落下后
呈现的曲线.
作出不同p值下5000个小球落入各个格子的频数的直方图,输入
<<Statistics`
<<Graphics`Graphics`
Galton[n_Integer,m_Integer,p_]:=Module[{},dist={};
For[l=1,l<=n,l++,k=0;
t=Table[Random[BernoulliDistribution[p]],{i,1,m}];
Do[If[t[[i]]==1,k++,k--],{i,1,m}];dist=Append[dist,k];
pp=Frequencies[dist];];Histogram[dist,BarStyle->{RGBColor[0,0,1]}];]
p=0.15;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]
p=0.5;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]
p=0.85;n=5000;m=20;Galton[n,m,p]
则输出图1.1

p0.15

p0.5

p0.85
图1.1
由图1-1可见:若小球碰钉子后从两边落下的概率发生变化,则高尔顿钉板实验中小球
落入各个格子的频数发生变化,从而频率也相应地发生变化.而且,当曲线峰值的
格子位置向右偏;当曲线峰值的格子位置向左偏.

古典概率
例1.2(生日问题)美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验:在一个盛况空前、人山人海的世界杯赛场上,他随机地在某号看台上召唤了22个球迷,请他们分别写下自己的生日,结果竟发现其中有两同生日.怎么会这么凑巧呢?
下面我们首先通过计算机模拟伯格米尼实验体验一次旧事重温(用22个1~365是可重复随机整数来模拟试验结果).
(1)产生22个随机数,当出现两数相同时或22个数中无相同数时,试验停止并给出结果;
(2)重复(1)1000次,统计试验结果并填入下表(补表1-1)中;
(3)产生40,50,64个随机数,重复(1),(2).
表1-1
r出现同生日次数
出现同生日频率
489
0.489
0.476880
0.88
0.891970
0.97
0.970997
0.997
0.997
事实上,设随机选取r人,{至少有两人同生日},则

而
输入命令:
<<Statistics`
Clear[p,k];
p[k_]=1-365!/(365-k)!/365^k;Plot[p[k],{k,1,100}];k=23;
Do[x[j]=Random[Integer,{1,365}],{j,1,k}]
b[0]=Table[x[j],{j,1,k}];j=0;a[j]=0;
While[a[j]==0&&k>j,m=j+1;z[j+1,m]=0;
While[z[j+1,m]==0&&k>m,z[j+1,m+1]=If[b[0][[j+1]]==b[0][[m+1]],1,0];m++];
a[j+1]=Sum[z[j+1,i],{i,j+1,m}];j++]{j,m}
{b[0][[j]],b[0][[m]]}
birthday[n_Integer,k_Integer]:=Module[{b,c,w,v},
Do[Do[x[i,j]=Ran