定积分的概念和性质.docx

第五章定积分
Chapter5DefiniteIntegrals

5.1定积分的概念和性质（ConceptofDefiniteIntegralanditsProperties）

一、定积分问题举例（ExamplesofDefiniteIntegral）
设在区间上非负、连续，由，，以及曲线所围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧称为曲边。
Letbecontinuousandnonnegativeontheclosedinterval.Thentheregionboundedbythegraphof,the-axis,theverticallines,andiscalledthetrapezoidwithcurvededge.
黎曼和的定义（DefinitionofRiemannSum）
设是定义在闭区间上的函数，是的任意一个分割，
，
其中是第个小区间的长度，是第个小区间的任意一点，那么和
，
称为黎曼和。
Letbedefinedontheclosedinterval,andletbeanarbitrarypartitionof,,whereisthewidthofthethsubinterval.Ifisanypointinthethsubinterval,thenthesum
，,
IscalledaRiemannsumforthepartition.
二、定积分的定义（DefinitionofDefiniteIntegral）
定义定积分（DefiniteIntegral）
设函数在区间上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间：

各个小区间的长度依次为，，…，。在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（），并作出和
。
记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即
==,
其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。
Letbeafunctionthatisdefinedontheclosedinterval.Considerapartitionoftheintervalintosubinterval(notnecessarilyofequallength)bymeansofpointsandlet.Oneachsubinterval,pickanarbitrarypoint(whichmaybeanendpoint);wecallitasamplepointfortheithsubinterval.WecallthesumaRiemannsumforcorrespondingtothepartition.
Ifexists,wesayisintegrableon,where.Moreover,,calleddefiniteintegral(orRiemannIntegral)offromto,isgivenby
=.
Theequality=meansthat,correspondingtoeach>0,thereisasuchthat<forallRiemannsumsforonforwhichthenormoftheassociatedpartitionislessthan.
Inthesymbol,iscalledthelowerlimitofintegral,theupperlimitofintegral,andtheintegralinterval.
定理1可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设在区间上连续，则在上可积。
Theorem1Ifafunctioniscontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon.
定理2可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptatafinitenumberofpoints,thenisintegrableon.
三．定积分的性质（PropertiesofDefiniteIntegrals）
两个特殊的定积分
（1）如果在点有意义，则；
（2）如果在上可积，则。
TwoSpecialDefiniteIntegrals
Ifisdefinedat.Then.
Ifisintegrableon.Then.
定积分的线性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）
设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且
（1）=;
(2)=+;andcons