定积分的概念和性质.ppt

定积分概念思想方法（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一
个近似值。（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之
和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且，计算在此段时间内物体经过的路程。（2）近似求和：二、定积分的定义
定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：
分划
任取，作和式
近似求和
记，如果
取极限
存在，且极限值I不依赖于的选取，也不依赖于[a，b]的分法，则称I为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)，记作,即

其中：f(x)叫做被积函数;
f(x)dx叫做被积表达式;
x叫做积分变量;
a叫做积分下限，b叫做积分上限;
[a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b]上不可积。
注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即三、函数可积的充分条件
定理1若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。
定理2若f(x)在[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。
四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。
一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b之间的各部分面积的代数和。定积分的性质中值定理证

注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。
性质2被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即

证
性质3(定积分的区间可加性)

证因f(x)在区间[a,b]上可积，所以对[a,b]的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑[a，b]的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么[a，b]上的积分和等于[a，c]上的积分和加[c，b]上的积分和，记为

令λ→0，上式两端同时取极限，得

注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，有
于是
性质4
证因f(x)≡1，所以

性质5若在区间[a，b]上，，则

证因，所以
又由于，因此
所以
推论1如果在区间[a，b]上，则

证因，则

由性质1，有
推论2

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