四年级奥数秋季班讲义(上).docx

莱特1+1思维教育辅导讲义
课题巧妙求和（一）授课时间：授课教师：知识点梳理数列：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中的个数称为项数。
等差数列与公差：从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
通项公式：第n项=首项+（项数﹣1）×公差；
项数公式：项数=（末项﹣首项）÷公差＋1；
求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2教学内容例1有一个数列，4、10、16、22、……、52，这个数列共有多少项？
分析仔细观察会发现这个数列后一项与前一项的差都是6，即公差是6，所以这是一个等差数列，并且它的首项是4，末项是52，要求项数，可以根据项数公式：项数=（末项﹣首项）÷公差＋1进行计算。

例2有一等差数列：3、7、11、15、……这个等差数列的第50项是多少？第100项呢？
分析仔细观察会发现这个数列是公差为4的等差数列，首项是3，要求第50项和第100项，可以根据通项公式：第n项=首项+（项数﹣1）×公差进行计算。

例3有这样一列数，1，2，3,4……99,100。请你写出这列数各项相加的和。
分析如果我们把数列1，2，3,4……99,100与数列100,99,98,97……2,1进行相加，相当于采用两两配对的方法进行求和，并且每对的和为101,共有100个这样的对，从而可以得到所求数列的和。

例4求等差数列2、4、6……48、50的和。
分析这个数列是公差为2的等差数列，可以根据公式之间计算。注意：要求一数列的和需要先求出项数。

练习：
等差数列中，首项为1，末项为39，公差为2，这个等差数列共有多少项？
有一个等差数列：2、5、8、11……101，这个等差数列共有多少项？
已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？
一等差数列，首项为3，公差为2，项数是10，求它的末项是多少？
求数列1、5、9、13……这个等差数列的第20项。
求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项。
求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项。
计算下面各题：
（1）1＋2＋3＋4＋……＋49＋50
（2）6＋7＋8＋9＋……＋75
（3）2＋6＋10＋14＋18＋22
（4）17＋19＋21＋…＋39；
（5）5＋8＋11＋14＋…＋50莱特1+1思维教育辅导讲义
课题巧妙求和（二）授课时间：授课教师：知识点梳理某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。教学内容例1小林读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共有多少页？
分析根据“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即30、33、36……57、60。要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项是30，末项是60，项数是11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。

例2一些同样粗细的圆木，像如图所示的一样均匀的堆放在一起，已知最下面一层有70根，那么一共有多少根圆木？
分析根据图可以发现这是一个公差是1的等差数列，首项是1，末项是70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。可以根据通项公式求解计算。

例330把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
分析开第一把锁时如果不凑巧，试了29把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要29次，同样的，开第二把锁至多需要试28次，开第三把锁至多需要试27次……等打开第29把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。所以，至多需要29＋28＋27＋……＋1次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。

例4某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手，那么共握了多少次手？
分析假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、……、2、1。

例5求1～99个连续自然数的所有数字之和。
分析注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。
为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算0～99这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每