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分类讨论思想在高中数学中的应用
摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。
一、分类讨论的几个注意点
1.明确分类讨论的对象
分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量,当然也不排除为常量的可能。
例1、设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？
解析：方程表示何种曲线主要取决于的取值，可对分以下三种情形讨论：
（1）当时，方程变为，表示直线；
（2）当时，方程变为，表示直线；
（3）当时，方程变为，又有以下五种情形讨论：
①当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线；
②当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；
③当时，方程表示圆心在圆点的圆；
④当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；
⑤当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线．
解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数进行分类。
2.掌握分类讨论的标准凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准。
例2、设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0,2x+y-5=0，求此双曲线的离心率.
分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.
解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为，一条渐近线的斜率为，∴b=2.
∴.
（2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为，此时.
综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于.3.找准分类讨论的界点将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“0”与“1”，如指数、对数的底a，常分0<a<1、a>1两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论等等，具体的问题具体分析。
例3、解不等式>0(a为常数，a≠－)
分析：含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－<a<0、a<－分别加以讨论。
解：2a＋1>0时，a>－；－4a<6a时，a>0。所以分以下四种情况讨论：
当a>0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；
当a＝0时，x>0，解得：x≠0；
当－<a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得:x<6a或x>－4a；
当a>－时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。
综上所述，当a>0时，x<－4a或x>6a；当a＝0时，x≠0；当－<a<0时，x<6a或x>－4a；当a>－时，6a<x<－4a。
本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏。一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型。
４.分清分类讨论的“级别”
例4、
解析：
，
，
，；
，
；
；
；
综上所述，得原不等式的解集为：
；；
；；
。
这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。
二、分类讨论的应用
1、集合中分类讨论问题
例5、（06全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。
解析：由f（x）为二次函数知，
令f（x）＝0解得其两根为
由此可知
（i）当时，，的充要条件是，即解得；
（ii）当时，，的充要条件是，即解得；
综上，使成立的a的取值范围为。
2、函数、方程中分类讨论问题
例6、函数y=eq\f(sinx,|sinx