北京市海淀区高三数学理科第一学期期末练习答案.docx

海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理）答案及评分参考2015.1
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C（2）D（3）B（4）C
（5）B（6）A（7）C（8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9）（10）（11）
（12）（13）；4（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）的值是.………………2分
的值是.………………5分
（Ⅱ）由题意可得：.
………………7分
所以
………………8分

.………………10分
因为，
所以.
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.………………13分

（16）（共13分）
解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为.
………………4分
（Ⅱ）由题意可得：.………………6分
因为，
所以.………………8分
所以.………………10分
（Ⅲ）.………………13分

（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）连接.
在正方形中，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面.………………1分
因为平面，
所以.………………2分
在菱形中，.
因为平面，平面，，
所以平面.………………4分
因为平面，
所以.………………5分
（Ⅱ）∥平面，理由如下：………………6分
取的中点，连接.
因为是的中点，
所以∥，且.
因为是的中点，
所以.
在正方形中，∥，.
所以∥，且.
所以四边形为平行四边形.
所以∥.………………8分
因为平面，平面，
所以∥平面.………………9分
（Ⅲ）在平面内过点作.
由（Ⅰ）可知：平面.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.
在菱形中，，所以，.
设平面的一个法向量为.
因为即
所以即.………………11分
由（Ⅰ）可知：是平面的一个法向量.………………12分
所以.
所以二面角的余弦值为.………………14分

（18）（共13分）
解：（Ⅰ）由得：.
所以椭圆的短轴长为.………………2分
因为，
所以，即的离心率为.………………4分

（Ⅱ）由题意知：，设，则.
………………7分
因为
………………9分
，………………11分
所以.
所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
………………13分

另解：由题意可设直线的方程为，.
由可得：.
所以，.………………7分
所以

.………………9分
因为，
所以.………………11分
所以.
所以点不在以为直径的圆上，即：不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
………………13分

（19）（共13分）
解：（Ⅰ）函数是偶函数，证明如下：………………1分
对于，则.………………2分
因为，
所以是偶函数.………………4分
（Ⅱ）当时，因为，恒成立，
所以集合中元素的个数为0.………………5分
当时，令，由，
得.
所以集合中元素的个数为1.………………6分
当时，因为，
所以函数是上的增函数.………………8分
因为，
所以在上只有一个零点.
由是偶函数可知，集合中元素的个数为2.………………10分
综上所述，当时，集合中元素的个数为0；当时，集合中元素的个数为1；当时，集合中元素的个数为2.
（Ⅲ）函数有3个极值点.………………13分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，，，故.
………………1分因为，所以.
所以.
所以当时，取得最大值.………………3分
（Ⅱ）由的定义可知：.
所以

.………………6分
设删去的两个数为，则.
由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，，.
所以.………………7分
所以.
所以，即.
………………8分
（Ⅲ）对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得恒成立，理由如下：
任取集合，由（）可知，中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）.
因为，
所以存在，使得，即.
由可设集合.
则中一定存在元素使得.否则，，与是最大数矛盾.
所以，，即.
………………14分