上海浦东高中数学暑假班 指数方程与对数方程.docx

指数、对数方程练习与解析

【知识点】
1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。
2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。
3.指数方程的基本类型：
（1）其解为；
（2），转化为代数方程求解；
（3），转化为代数方程求解；
（4），用换元法先求方程的解，再解指数方程。
4.对数方程的基本类型：
（1）,其解为；
（2），转化为求解；
（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程。

典型例题
【例1】解下列方程：
(1)9x+6x=22x+1；
(2)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2x+1)；
(3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2.
【解前点津】(1)可化为关于（）x的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x-1的一元二次方程.
【规范解答】(1)由原方程得：32x+3x·2x=2·22x，两边同除以22x得：()2x+（）x-2=0.
因式分解得：
[（）x-1]·[()x+2]=0.
∵()x+2>0，∴()x-1=0，x=0.
(2)由原方程得：log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1)(3-x)·(2x+1)=(1-x)·(3+x)解之:x=0或7，经检验知：x=0为原方程解.
(3)log2(9x-1-5)=log24·(3x-1-2)9x-1-5=4·(3x-1)-8因式分解得：(3x-1-1)(3x-1-3)=03x-1=1或3x-1=3x=1或2.经检验x=2是原方程解.
【解后归纳】指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.
【例2】解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0.
【解前点津】利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.
【规范解答】化原方程为：
∵a>，∴a2+6a-3>+6×-3>0，故由(x-a2)=a2+6a-3得：x-a=±即x=a±(a>).
【解后归纳】含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围.
【例3】解关于x的方程：a2·4x+(2a-1)·2x+1=0.
【解前点津】令t=2x，则关于t的一元方程至少有一个正根，a是否为0，决定了方程的“次数”.【规范解答】①当a=0时，2x=1，x=0；
②当a≠0时，Δ=(2a-1)2-4a2=1-4a；若Δ≥0则a≤(a≠0).
且关于t的一元二次方程a2·t2+(2a-1)t+1=0至少有一个正根，而两根之积为>0，故两根之和为正数，即>0a<，故a≤(a≠0)时，2x=，故a≤(a≠0)时，x=log2为原方程之根.
【解后归纳】方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.
【例4】当a为何值时，关于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1.
【解前点津】令y=2x，则问题转化为：关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍.
【规范解答】令y=2x，∵x1=x2+1，故2=2·2，即y2=2y1，故关于y的方程y2-(2a+1)y+(a2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m，2m.
由.
【解后归纳】在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入不等式检验便知真伪.
例5．（1）方程的解集为；
（2）方程的解集为。
解：（1）设，则。。
（2）。
注意：在对数方程求解过程中，有些变形会改变未知数的范围，方程可能产生增根或失根，故对数方程求解后必须检验。
例6．关于的方程在区间上有解，求的取值范围。
解法指导：有关方程的有解与无解的问题以及方程的解的个数问题，可转化为函数类的问题。本题可利用分离参数，数形结合求解。
解：由，得，因为方程在上有解，所以在函数的值内取值即可，不难求得其值域为，
所以。
例7．解关于的方程。
解：原方程可化为，设
则
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，。

练习：
一、填空题
1．方程的解是。
2．方程的解集为。
3．方程的解集为。
4．方程的解集为。
5．方程的解是___________________。
二、选择题
6．方程的根的情况是()
(A)仅有一个正根(B)有两个正根(C)有两个负根(D)有一个正根和一个负根
7．方程的解为()
(A)(B)(C)(D)
8．方程的解是()
(A)(B)(C)9或-11(D)-99
三、解答题
9．若关于的方程有实数解，求