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第五章大地水准面的起伏和垂线偏差
确定地面点在地球上的位置需要知道其三个坐标．通过天文观测可以确定它的天文经度、天文纬度两个坐标、通过重力测量和水准测量可以确定第三个坐标-正高；地面点的天文经、纬度这两个坐标是以该点的重力矢量方向为依据的，而正高则从该点的大地水准面起算。受地球内部密度分布不规律的影响，重力矢量方向在地球中是杂乱无章的，同时大地水准面也是一个不规则的曲面；地面各点的这三个可观测坐标是以重力矢量方向定向的局部坐标架为根据的，它们之间难以进行精确对比。为了克服这种局限，在大地测量中通常采用大地坐标系；大地坐标系是一种以中心置于地球质心的参考椭球为依据的全球统一坐标系，地面点相对参考椭球的坐标称为它的大地坐标，大地坐标有三个：大地经度、大地纬度和大地高程。三个大地坐标不能直接观测，它们与参考椭球的几何参数和它在地球中的定位有关；几何参数合适的参考椭球选定并在地球中定位后，三个大地坐标可以通过可观测的三个坐标（天文经、纬度和正高）计算出来；为此，需要知道大地水准面的起伏和垂线偏差。本章给出如何根据混合重力异常计算大地水准面起伏和垂线偏差的公式。
5.1自然坐标和大地坐标
1.自然坐标
地球表面上的任一点的自然坐标式以该点的重力方向为依据的，自然坐标有三个，它们式：天文精度、天文纬度和正高。图式点的地面天球，地球的旋转轴在空间的取向是固定的，点与地球旋转轴的平行直线与天球交点称为点地面天球的北极；过点作一条直线，沿着点重力矢量的反方向向上，它与点的地面天球相交与点，称为点的天文天顶，平面称为点的天文子午面；过作一平面，令与格林尼治初始子午面平行，则称为点的初始天文子午面。点的天文纬度等于北天极在点的告诉，点的天文经度等于点的地方恒星时与格林尼治地方恒星时的差；点的天文经度和天文纬度这两个天文坐标可以通过在点的天文观测测量出来。

如图所示，点的第三个坐标式它的正高，它等于点沿垂线至带地水准面的距离，因为地球的重力等位面彼此间不平行，从水准原点开始，通过水准测量测出点至大地水准面的高差与水准测量的路径有关，它不等于点的正高，即有

假若在水准测量的路径上同时进行重力测量，考虑到

根据（）式，有

为地球在大地水准面上的重力位。（）式表明，通过水准路径上同时进行水准和重力测量可以测出点的重力位与大地水准面上的重力位之间的差，因而有

根据（）式，点的正高为

为、两点间的平均重力。这样，通过水准测量和沿着水准测量路径上同时进行重力测量，根据（）式可以求出点的正高。
2.大地坐标
如图所示，选择参数合适的参考椭球，将其中心置于地球的质心，在全球地心直角坐标系内，令参考椭球的极轴沿着地球的旋转轴，位于赤道平面内，并令子午面为参考椭球的初始子午面；以这种参考椭球为基本参考架的坐标系称为大地坐标系，大地坐标系式一种全球统一的地球坐标系。地面上任一点的坐标由它的大地纬度、大地经度、大地高程三个大地坐标给出。用表示点沿该点正常重力方向在参考椭球面上的投影，则称为点的大地高程，而过点的参考椭球面法线，即该点的正常重力方向与赤道平面的夹角称为点的大地纬度，过点的子午面与初始子午面的夹角称为点的大地经度，地面点的这三个大地坐标不能直接观测出来，它们与参考椭球的参数有关；当参考椭球的参数选定并在地球内部定位后，地面点的大地高程、大地经度和大地纬度，可以根据可直接观测的地面点的正高、天文经度、天文纬度计算出来。
5.2扰动位，大地水准面的高度和垂线偏差
地面上某点重力矢量方向与该点正常重力方向之间的夹角称为该点的垂线偏差；地球在空间任一点的重力位与正常场地球模型在该点产生的重力位的差称为地球在该点的扰动位，即

地球与正常场地球模型的密度分布上的差异一方面产生扰动位，另一方面使得大地水准面相对参考椭球面发生起伏，同时产生垂线偏差。这样，扰动位、大地水准面的起伏、垂线偏差都来源于地球与正常场地球模型内部密度的分布不同。
如图所示，根据大地高程的定义，点的大地高程等于点的正高和点至参考椭球面的距离的和，即

点至大地水准面的高度与点的扰动位有关；事实上，大地水准面上点的扰动位等于

大地水准面上的重力位等于正常重力位，即，考虑到位于旋转椭球面上，因而有

将上式代入（）式，有

（）式表明，大地水准面上点的扰动位实际上等于、两点的正常重力位的差；根据（）式，至参考椭球面的距离为

其中为的正常重力，（）式称为布隆斯（Brunes）公式。
如图所示，由于扰动位的存在，大地水准面上的重力矢量与正常重力矢量不重合，大地水准面上点重力矢量与正常重力矢量之间的夹角称为点的垂线偏差，即

垂线偏差是一个矢量，它有偏差方向和大小。用、分别表示它的南北分量和东西分量，并约定地球的重力矢量的方向在正常重力矢量方向的西南方时，即当点的天文天顶在它的