一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法20101022.docx

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法
存在唯一性定理
1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(.1)
这里是在矩形域(.2)上的连续函数。
定义1如果存在常数，使得不等式对于所有都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。
定理3.1如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)
这里，。
我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。
现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。
首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数，
显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。
否则,我们又把代入积分方程右端的，得到
，
如果，那末就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。一般地作函数
(.4)
这样就得到连续函数序列：，，…，，….
如果，那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即存在，
因而对(.4)取极限时，就得到

即，这就是说是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
由(.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。
在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。下面我们分五个命题来证明定理1。
命题1设是方程(.1)的定义于区间上，满足初始条件(3.1.1.3)的解，则是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。反之亦然。
证明因为是方程(.1)的解，故有，两边从到取定积分得到
把(.3)代入上式，即有
因此，是(.5)的定义于上的连续解。
反之，如果是(.5)的连续解，则有(3.1.1.6)
微分之，得到，又把代入（.6），得到。
因此，是方程(.1)的定义于上，且满足初始条件(3.1.1.3)的解。命题1证毕。
现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：(.7)
命题2对于所有的，(.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.1.1.8)。
证明当时，。显然在上有定义、连续且有即命题2当时成立。现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数，命题2都成立。为此，设命题2当时成立，也即在上有定义、连续且满足不等式,这时,
由假设,命题2当成立,知道在上有定义、连续且有即命题2当时也成立。由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。命题2证毕。
命题3函数序列在上是一致收敛的。
证明考虑级数(.9)
它的部分和为
因此，要证明函数序列在上是一致收敛，只须证明级数(.9)在上一致收敛。为此，我们进行如下的估计。由(3.1.1.7)
有(.10)
及
利用利普希茨条件及(.10)，得到

设对于正整数，不等式成立，则由利普希茨条件，当时，有
于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有如下估计
(.11)
从而可知，当时，(.12)
(.12)的右端是正项收敛级数的一般项。由维尔斯特拉斯(Weietstrass)判别法（简称维氏判别法），级数(3.1.1.9)在上一致收敛，因而序列也在上一致收敛。命题3证毕。
现设则也在上连续，且由(.8)又可知。
命题4是积分方程(.5)的定义于上的连续解。
证明由利普希茨条件，以及在上一致收敛于，即知序列在上一致收敛于。因而，对(.7)两边取极限，得到
即，
这就是说，是积分方程(.5)的定义于上的连续解。命题4证毕。
命题5设是积分方程(.5)的定义于上的一个连续解，则
，。
证明我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数。为此，从，，我们可以进行如下估计
现设，则有
故由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有下面的估计式
(.13)
因此，在上有(.14)
是收敛级数的公项，故时。
因而在上一致收敛于。
根据极限的唯一性，即得。命题5证毕。
综合命题1—5，即得到存在唯一性定理的证明。
存在唯一性定理如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)这里，。

图(3.1)
附注1存在唯一性定理中数的几何意义（参看图(3.1)):这里,定理证明方程(.1)的过点的积分曲线在区间上确定。因为积分曲线的切线斜率介于直线和的斜率与之间。所以，当时，积分曲线上的点的纵坐标满足不等式=
也就是说，积分曲线弧夹在域及的内部，当然，也就不超出矩形。命题2中所有函数都可在上确定,它的图形都夹在域的内部，自然，它的极限图形即积分曲线也不超出域的范围。
附注2由于利普希茨条件比较难于检验，常用在上有对的连续偏导数来代替。事实上，如果在上存在且连续，则在上有界。设在上，