高中数学 导数及其应用 13 导数的应用习题课 苏教版选修22.docx

习题课导数的应用
明目标、知重点1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想.2.会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)．

1．函数f(x)＝x3－x2－x的单调减区间是________．
答案(－eq\f(1,3)，1)
解析由f′(x)＝3x2－2x－1<0得，－eq\f(1,3)<x<1，
所以函数f(x)在区间(－eq\f(1,3)，1)内单调递减．
2．设函数g(x)＝x(x2－1)，则g(x)在区间[0,1]上的最小值为________．
答案－eq\f(2\r(3),9)
解析g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，
解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．
又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(－2\r(3),9)，g(0)＝0，g(1)＝0.
所以当x＝eq\f(\r(3),3)时，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9).
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为________．(填序号)

答案④
解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
4．已知函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋2x2＋2x，若存在满足0≤x0≤3的实数x0，使得曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x＋my－10＝0垂直，则实数m的取值范围是________．
答案[2,6]
解析由两条直线垂直的充要条件，得m＝f′(x0)，由于0≤x0≤3，
f′(x)＝－x2＋4x＋2＝－(x－2)2＋6，
所以f′(x0)∈[2,6]，
又切线的斜率为m，所以m的取值范围是[2,6]．
5．若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f′(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的________________条件．
答案充分不必要
解析对于导数存在的函数f(x)，若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f′(x)<0，如f(x)＝－x3在R上是单调递减的，但f′(x)≤0.

题型一与导数几何意义有关的问题
例1对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{eq\f(an,n＋1)}的前n项和的公式是Sn＝________.
答案2n＋1－2
解析由k＝y′|x＝2＝－2n－1(n＋2)，得切线方程为y＋2n＝－2n－1(n＋2)(x－2)，
令x＝0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0＝(n＋1)2n，所以eq\f(an,n＋1)＝2n，
则数列{eq\f(an,n＋1)}的前n项和Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.
反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键．
跟踪训练1如图，曲线y＝f(x)上任一点P(x，y)的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若△PTQ的面积为eq\f(1,2)，则y与y′的关系是________．
答案y2＝y′
解析S△PTQ＝eq\f(1,2)×y×QT＝eq\f(1,2)，∴QT＝eq\f(1,y)，Q(x－eq\f(1,y)，0)，根据导数的几何意义，
kPQ＝eq\f(y－0,x－x－\f(1,y))＝y′∴y2＝y′.
题型二与函数图象有关的问题
例2已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y＝f(x)的图象大致是________．(填序号)

答案③
解析当0<x<1时，xf′(x)<0，
∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数，
排除图象①②.当1<x<2时，xf′(x)>0，
∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1,2)上为增函数，
因此排除图象④.
反思与感悟研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪训练2已知R上可导的函数y＝f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为________．

答案(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
题型三函数的单调性、极值、最值问题
例3已知函数