高中数学 导数及其应用 112 瞬时变化率——导数一习题 苏教版选修22.docx

1.1.2瞬时变化率——导数(一)
明目标、知重点1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．

1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率

如图，设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为
kPQ＝eq\f(fx＋Δx－fx,x＋Δx－x)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率．
2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度
(1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(St0＋Δt－St0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．
(2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(vt0＋Δt－vt0,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

[情境导学]
平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均速度反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？本节内容将解决这一问题．
探究点一曲线上一点处的切线斜率
思考1如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT称为过点P的切线．
思考2怎样求切线的斜率？
答可以用逼近的方法来计算切线的斜率，
设P(x，f(x))，Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，
则kPQ＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)，
当Δx无限趋近于0时，eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)无限趋近于曲线f(x)在点P(x，f(x))处切线的斜率．
例1已知曲线y＝eq\f(1,3)x3上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，求：
(1)点P处的切线斜率；
(2)点P处的切线方程．
(提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3)
解(1)∵y＝eq\f(1,3)x3，
∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(1,3)x＋Δx3－\f(1,3)x3,Δx)
＝eq\f(1,3)×eq\f(3x2Δx＋3xΔx2＋Δx3,Δx)
＝eq\f(1,3)[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，
当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于x2，
∴点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y－eq\f(8,3)＝4(x－2)．
即12x－3y－16＝0.
反思与感悟解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．
跟踪训练1已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
解eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－2,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.
当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于4，
∴曲线y＝2x2在点(1,2)处切线的斜率为4.
∴所求直线的斜率为k＝－eq\f(1,4).
∴y－2＝－eq\f(1,4)(x－1)，即x＋4y－9＝0.
探究点二瞬时速度与瞬时加速度
思考1物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
答不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
易知h(eq\f(65,49))＝h(0)，eq\x\to(v)＝eq\f(h\f(65,49)－h0,\f(65,49)－0)＝0，
而运动员依然是运动状态．
思考2如何描述物体在某一时刻的运动状态？
答可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．
思考3瞬时速度与瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？
答瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．
例2一质点按规律S＝2t2＋2t(位移单位：m