高等数学——微分方程.docx

第八章常微分方程
一、本章学习要求与内容提要
（一）基本要求
1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.
2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.
3．了解二阶线性微分方程解的结构.
4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.
5．会求自由项为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.
6.知道特殊的高阶微分方程（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的降阶法.
7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.
重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。
难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.
（二）内容提要
⒈微分方程的基本概念
⑴微分方程的定义
①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程.
②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程.
⑵微分方程的阶、解与通解
微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数SKIPIF1<0代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解.
⑶初始条件与特解
用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解.
⑷独立的任意常数
①线性相关与线性无关
设SKIPIF1<0是定义在区间SKIPIF1<0内的函数，若存在两个不全为零的数SKIPIF1<0，使得对于区间SKIPIF1<0内的任一SKIPIF1<0，恒有
SKIPIF1<0
成立，则称函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内线性相关，否则称为线性无关.
显然，函数SKIPIF1<0线性相关的充分必要条件是SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内恒为常数.
如果SKIPIF1<0不恒为常数，则SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内线性无关.
②独立的任意常数
在表达式SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为任意常数)中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为独立的任意常数的充分必要条件为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0线性无关.
2.可分离变量的微分方程
⑴定义形如
SKIPIF1<0
的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是SKIPIF1<0的函数，另一个仅是SKIPIF1<0的函数，即SKIPIF1<0分别是变量SKIPIF1<0的已知连续函数.
⑵求解方法可分离变量的微分方程SKIPIF1<0的求解方法,一般有如下两步:
第一步:分离变量SKIPIF1<0，
第二步:两边积分SKIPIF1<0.
3.线性微分方程
⑴一阶线性微分方程
①定义形如
SKIPIF1<0.
的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中SKIPIF1<0都是SKIPIF1<0的已知连续函数，“线性”是指未知函数SKIPIF1<0和它的导数SKIPIF1<0都是一次的.
②求解方法一阶线性微分方程SKIPIF1<0的求解方法,一般有如下两步:
第一步：先用分离变量法求一阶线性微分方程SKIPIF1<0所对应的齐次线性微分方程SKIPIF1<0的通解SKIPIF1<0.
第二步：设SKIPIF1<0为一阶线性微分方程SKIPIF1<0的解,代入该方程后,求出待定函数SKIPIF1<0.
第三步:将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中,得所求一阶线性微分方程SKIPIF1<0的通解.
注意只要一阶线性微分方程是SKIPIF1<0的标准形式,则将SKIPIF1<0代入一阶线性微分方程后,整理化简后,必有
SKIPIF1<0,
该结论可用在一阶线性微分方程的求解过程中,以简化运算过程.
③一阶线性微分方程SKIPIF1<0的求解公式
SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为任意常数)