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“点差法”公式在抛物线中点弦问题中的妙用
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。
定理在抛物线SKIPIF1<0中，若直线SKIPIF1<0与抛物线相交于M、N两点，点SKIPIF1<0是弦MN的中点，弦MN所在的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.
证明：设M、N两点的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0
SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
又SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0.
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.
同理可证，在抛物线SKIPIF1<0中，若直线SKIPIF1<0与抛物线相交于M、N两点，点SKIPIF1<0是弦MN的中点，弦MN所在的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.
注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.
例1．抛物线SKIPIF1<0的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）
A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0
解：SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上.设弦的中点M的坐标为SKIPIF1<0.
由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，
整理得：SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0所求的轨迹方程为SKIPIF1<0.故选B.
例2．抛物线SKIPIF1<0上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（）
A.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）B.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）C.SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）D.SKIPIF1<0
解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点在SKIPIF1<0轴上.设平行弦的中点M的坐标为SKIPIF1<0.
由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0.
在SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0点M的轨迹方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0）.
故答案选A.
例3．（03上海）直线SKIPIF1<0被抛物线SKIPIF1<0截得的线段的中点坐标是___________.
解：SKIPIF1<0，焦点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上.设弦MN的中点P的坐标为SKIPIF1<0，弦MN所在的直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0.
SKIPIF1<0所求的中点坐标是SKIPIF1<0.
例4．抛物线的顶点在原点，焦点在SKIPIF1<0轴上，它和直线SKIPIF1<0相交，所得的弦的中点在SKIPIF1<0上，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为SKIPIF1<0，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为SKIPIF1<0.
由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，
SKIPIF1<0
又SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，
SKIPIF1<0
解之得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0
由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0
SKIPIF1<0直线与抛物线有两个不同的交点，
SKIPIF1<0