点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.docx

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
证明：设M、N两点的坐标分别为、，
则有
，得

又
同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.
典题妙解
例1设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最大值和最小值.
解：（1）设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点.
焦点在y上，假设直线的斜率存在.
由得：
整理，得：
当直线的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点，也满足方程。
所求的轨迹方程为
（2）配方，得：

当时，；当时，
例2在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.
（1）求的取值范围；
（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.
解：（1）直线的方程为
由得：
直线与椭圆有两个不同的交点，
＞0.解之得：＜或＞.
的取值范围是.
（2）在椭圆中，焦点在轴上，，
设弦PQ的中点为，则
由平行四边形法则可知：
与共线，与共线.
，从而
由得：，
由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.
例3已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.
解：（Ⅰ）根据题意，得
.所求的椭圆方程为.
（Ⅱ）椭圆的焦点为、.设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.
由平行四边形法则知：.
由得：.……………①
若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.
由得：………②
②代入①，得
整理，得：.解之得：，或.
由②可知，不合题意.，从而.
所求的直线方程为，或.
例4已知椭圆（＞＞0）的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点.当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为.
（1）求的值；
（2）C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，则其方程为，即.原点O到的距离：，.
又，.从而.，.
（2）椭圆的方程为.设弦AB的中点为.由可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为..…………………①
若直线的斜率不存在，则轴，这时点Q与重合，，点P不在椭圆上，故直线的斜率存在.
由得：.………………………②
由①和②解得：.
当时，，点P的坐标为，直线的方程为；
当时，，点P的坐标为，直线的方程为.

金指点睛
1.已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（）
A.B.C.D.
2.（06江西）椭圆（＞＞0）的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点.
（1）求点P的轨迹H的方程；
（2）略.
3．（05上海）（1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C的方程为（＞＞0）.设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；
（3）略.
4.(05湖北)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）略.
5.椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线
对称，求的值.
参考答案
1.解：由得，.
弦MN的中点，由得，直线MN的方程为.
即.
由得：.
设，则.

故答案选C.
2.解：（1）设点P的坐标为，由得：，
整理，得：.
点P的轨迹H的方程为.
3．解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是..
由椭圆的第一定义知，，.
.
所求椭圆的标准方程为.
（2）设点M的坐标为，由得：，整理得：.
a、b、k为定值，
当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.
4.解：（1）点在椭圆内，＜，即＞12.
的取值范围是.
由得，，焦点在y轴上.
若直线AB的斜率不存在，则直线AB轴，根据椭圆的对称性，线段AB的中点N在x轴上，不合题意，故直线AB的斜率存在.
由得：，.
所求直线AB的方程为，即.
从而线段AB的垂直平分线CD的方程为，即.
5.解：（1）在双曲线中，，
焦点为.
在抛物线中，，准线为.
在椭圆中，.从而
所求椭圆C的方程为.
（2）设弦AB的中点为，则点P是直线与直线的