高中数学 综合测试（1）B 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题.doc

2016高中数学综合测试（1）B新人教A版必修4
1．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin2x－2sin2x.(1)求函数f(x)的最大值；
(2)求函数f(x)的零点的集合．

2．已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋eq\f(π,3))－eq\f(\r(3),2)(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图像．

3.已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，sin(A－B)＝eq\f(1,5).
(1)求证：tanA＝2tanB.(2)设AB＝3，求AB边上的高．

B-94答案

1解(1)∵f(x)＝eq\r(3)sin2x－2sin2x＝eq\r(3)sin2x－(1－cos2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin2x＋\f(1,2)cos2x))－1＝2sin(2x＋eq\f(π,6))－1，
∴当2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1.
(2)解法1：由(1)及f(x)＝0，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，∴2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,6)，或2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(5π,6)，即x＝kπ，或x＝kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．故函数f(x)的零点集合为{x|x＝kπ，或x＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．
2．解(1)f(x)＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,3)＋cosxsin\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)＝2cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)列表：
2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)f(x)010－10描点连线，如图所示．

3.(1)证明∵sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，sin(A－B)＝eq\f(1,5)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinAcosB＋cosAsinB＝\f(3,5),sinAcosB－cosAsinB＝\f(1,5)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinAcosB＝\f(2,5),cosAsinB＝\f(1,5)))⇒eq\f(tanA,tanB)＝2.∴tanA＝2tanB.

(2)解∵eq\f(π,2)<A＋B<π，sin(A＋B)＝eq\f(3,5)，∴tan(A＋B)＝－eq\f(3,4)，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(3,4).
将tanA＝2tanB代入上式并整理得2tan2B－4tanB－1＝0
解得tanB＝eq\f(2±\r(6),2)，舍去负值，得tanB＝eq\f(2＋\r(6),2).∴tanA＝2tanB＝2＋eq\r(6).

设AB边上的高为CD，则AB＝AD＋DB＝eq\f(CD,tanA)＋eq\f(CD,tanB)＝eq\f(3CD,2＋\r(6))，
由AB＝3，得CD＝2＋eq\r(6).∴AB边上的高等于2＋eq\r(6).