高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11节 导数的应用（第1课时）导数与函数的单调性教学案 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学教学案.doc

第十一节导数的应用
[考纲传真]1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．

1．函数的单调性
在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[常用结论]
1．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
3．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()
(2)函数的极大值不一定比极小值大．()
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()
(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()
[答案](1)×(2)√(3)√(4)×
2．(教材改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()
A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．当x＝2时，f(x)取到极小值
C[结合原函数与导函数的关系可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，∴y＝f(x)在(4,5)上是增函数，故选C.]
3．函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是()
A．先增后减 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
D[∵f′(x)＝－sinx－1，
∴当x∈(0，π)时，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数．]
4．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D[由f′(x)＝3x2－12＝0得x＝±2，又当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，∴x＝2是f(x)的极小值点，即a＝2.]
5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．
8[y′＝6x2－4x，令y′＝0，
得x＝0或x＝eq\f(2,3).
∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝－eq\f(8,27)，
f(2)＝8，∴最大值为8.]

第1课时导数与函数的单调性

利用导数求函数的单调区间

【例1】(1)函数y＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为()
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)(2016·北京高考)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
①求a，b的值；
②求f(x)的单调区间．
(1)B[∵y＝eq\f(1,2)x2－lnx，
∴x∈(0，＋∞)，y′＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1x＋1,x).
由y′≤0可解得0＜x≤1，
∴y＝eq\f(1,