高中数学优秀讲义微专题18 利用导数解函数的最值.pdf

微专题18函数的最值

一、基础知识：

1、函数的最大值与最小值：

（1）设函数fx的定义域为D，若xD，使得对xD，均满足fxfx，那
00

么称xx为函数fx的一个最大值点，fx称为函数fx的最大值
00

（2）设函数fx的定义域为D，若xD，使得对xD，均满足fxfx，那
00

么称xx为函数fx的一个最小值点，fx称为函数fx的最小值
00

（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点

（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。例如：fxlnx,x1,4，

由单调性可得fx有最小值f10，但由于x取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln4,

但就是达不到。fx没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不

唯一，例如fxsinx，其最大值点为x2kkZ，有无穷多个。
2
2．“最值”与“极值”的区别和联系

右图为一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x)与f(x)是极小值，
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f(x)是极大值．函数f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x)
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（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”

是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也

可能没有一个

（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，

有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3、结论：一般地，在闭区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数

yf(x)在a,b上必有最大值与最小值．

4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的

周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点

5、利用导数求函数的最值步骤:

一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f(x)在(a,b)内的极值；

（2）将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最

小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值

6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值

的基础

7、在比较的过程中也可简化步骤：

（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点

（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点

8、最值点的作用

（1）关系到函数的值域

（2）由最值可构造恒成立的不等式：

例如：fxlnxx1，可通过导数求出fxf10，由此可得到对于任意的
min

x0，均有fxfx0，即不等式lnxx1
min
二、典型例题：

例1：求函数fxxex的最值

思路：首先判定定义域为R,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值

解：f'x1xex，令f'x0,解得：x1

fx的单调区间为：

x,11,

f'(x)

fxZ]

1
fxf1，无最小值
maxe

小炼有话说：函数fxxex先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增

再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

例2：已知函数fxx3ax22,x2是fx的一个极值点，求：

（1）实数a的值

（2）判断fx在区间1,4上是否存在最大值和最小值

解：（1）

f'x3x22axQx2是fx的一个极值点

f'2124a0

a3

（2）思路，由第（1）问可得fxx33x22，进而求出单调区间得到最值

解：f'x3x26x3xx2,令f'x0,解得：1x0或2x4

fx的单调区间为：

x1,00,22,4

f'(x)

fxZ]Z

计算f12,f02,f22,f418

fxf418fxf22
maxmin

小炼有话说：在本题中，最小值的求解尽管x1不在所给区间中，但也需要