直线、平面垂直的判定及其性质.doc

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第5讲直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一直线的两平面平行．
2．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法②判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
1．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
考向一直线与平面垂直的判定与性质
【例1】►(2015·天津改编)如图，

在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD.
证明：AD⊥平面PAC.

1、已知在三棱锥S--ABC中，∠ACB=900，又SA⊥平面ABC，
AD⊥SC于D，求证：AD⊥平面SBC，
证明：

2、如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC之中点，
（1）、求证：MN∥平面PAD
（2）、求证：MN⊥CD
（3）、设PA=a,AB=b,AD=c,求PC的长。

考向二平面与平面垂直的判定与性质
【例2】►如图

所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD.

【训练2】如图所示，

在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
证明

考向三平行与垂直关系的综合应用
【例3】►如图，

在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
[审题视点]

【训练3】如图，

正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.

考向四线面角
【例4】►(2015·无锡模拟)

如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝eq\r(2)AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

如图，已知DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
(1)证明：PQ∥平面ACD；
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值