热力学与统计物理课后习题答案.docx

第六章近独立粒子的最概然分布

6.1试根据式（）证明：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

解:式（）给出，在体积内，在到到到的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为
（1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的量子态数为
（2）
上式可以理解为将空间体积元（体积V，动量球壳）除以相格大小而得到的状态数.
自由粒子的能量动量关系为

因此

将上式代入式（2），即得在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为
（3）

6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为

解:根据式（），一维自由粒子在空间体积元内可能的量子态数为

在长度L内，动量大小在到范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为
（1）
将能量动量关系

代入，即得
（2）

6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积内，在到的能量范围内，量子态数为

解:根据式（），二维自由粒子在空间体积元内的量子态数为
（1）
用二维动量空间的极坐标描述粒子的动量，与的关系为

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为

在面积内，动量大小在到范围内，动量方向在到范围内，二维自由粒子可能的状态数为
（2）
对积分，从0积分到，有

可得在面积内，动量大小在到范围内（动量方向任意），二维自由粒子可能的状态数为
（3）
将能量动量关系

代入，即有
（4）

6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为

试求在体积V内，在到的能量范围内三维粒子的量子态数.
解:式（）已给出在体积V内，动量大小在到范围内三维自由粒子可能的状态数为
（1）
将极端相对论粒子的能量动量关系

代入，可得在体积V内，在到的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为
（2）

6.5设系统含有两种粒子，其粒子数分别为和.粒子间的相互作用很弱，可以看作是近独立的.假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制.试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为

和

其中和是两种粒子的能级，和是能级的简并度.
解：当系统含有两种粒子，其粒子数分别为和，总能量为E，体积为V时，两种粒子的分布和必须满足条件
（1）
才有可能实现.
在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下，两种粒子分别处在分布和时各自的微观状态数为
（2）
系统的微观状态数为
（3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使或为极大的分布.利用斯特令公式，由式（3）可得

为求使为极大的分布，令和各有和的变化，将因而有的变化.使为极大的分布和必使

即

但这些和不完全是独立的，它们必须满足条件

用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得

根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得

即
（4）
拉氏乘子和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布.两个分布的和可以不同，但有共同的.原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数和能量E具有确定值，这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量，但不会相互转化.从上述结果还可以看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的.

6.6同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？
解:当系统含有个玻色子，个费米子，总能量为E，体积为V时，粒子的分布和必须满足条件

（1）
才有可能实现.
玻色子处在分布，费米子处在分布时，其微观状态数分别为

系统的微观状态数为
（3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使或为极大的分布.将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得

令各和有和的变化，将因而有的变化，使用权为极大的分布和必使

即

但这此致和不完全是独立的，它们必须满足条件

用拉氏乘子和分别乘这三个式子并从中减去，得

根据拉氏乘子法原理，每个和的系数都等于零，所以得

即
（4）
拉氏乘子和由条件（1）确定.式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中和不同，但相等.