热力学统计物理 课后习题 答案47580.docx

第八章玻色统计和费米统计
8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式．
解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足

在弱简并情况下：

与（）式比较，可知

再由（）式，得

8.10试根据热力学公式及光子气体的热容量，求光子气体的熵。
解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为-------（1）
则可以得到光子气体的定容热容量为---------（2）
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
----------（3）
取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有
----------------（4）
其中已经取积分常量S0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象．
证明：发生玻色凝聚时μ→0，因此临界温度Tc由下式决定：
…(1)
对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
一维：
二维：
分别代入（1）式可知，若Tc取非零有限值，则当ε→0时积分均不收敛。
Tc＝0
但由于此时不存在T<Tc的状态，所以一维和二维理想波色气体不存在玻色凝聚现象，证毕。
8.14银的传导电子密度为5.9×1028/m3。试求0K时电子的最大能量、最大速率和电子气体的简并压。
解：0K时电子的最大能量

最大速率
0K时的简并压
8.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率。
证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为
f=1pPF
f=0p>PF-----------（1）
其中PF是费米动量，即0K时电子的最大动量。因此电子的平均动量为
--------------（2）
因此电子的平均速率为---------------（3）
8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压．
解：考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在ε→ε+dε的能量范围内电子的量子态数为

所以0K时电子的最大能量由下式确定：

内能

对于二维电子气体，V＝L2

所以0K时的简并压

8.22试根据热力学公式及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
--------------(1)
根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
-----------(2)
取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有
-------------(3)
其中已取积分常量S0为零。
8.23试求低温下金属中自由电子气体的巨配分函数的对数，从而求电子气体的压强、内能和熵。
解：根据式（8-1-13），自由电子气体巨配分函数的对数可表达为
----------------(1)
其中第二步用了（6-2-17）式，第三步做了变数变化=x
将上式的积分分为两段：
---------------(2)
在第一个积分中将对数函数改写为

其中。在第二个积分中作变数变换，（2）式可改写为
---------------(3)
其中
------------------(4)
在低温的情形下，I1和I2可近似为

----------------（5）
于是-------------（6）
根据费米统计中热力学量的统计表达式可得
-------------（7）
-------------（8）
-------------（9）
------------（10）
由于在低温下，作为第一级近似可以略去式（7）中的第二项而有

即------------------（11）
计及（7）式的第二项，可将（7）式改写为

再将上式中第二项的用第一级近似代入，得
------------------（12）
或------------------（13）
（13）式与（8-5-17）一致。
用式（7）除式（6），并将（12）式代入可将ln表示为，T，(0)的函数
-(14)
代回式（8），（9），（10）即得
----------------(15)
----------------(16)
----------------(17)
8.24关于原子核半径R的经验公式给出R=(1.3×10-5m)·A1/3式中A是原子核所含核子数．假设质子数和中子数相等，均为A／2，试计算二者在核内的密度n．如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的μ(0)以及核子在核内的平均动能．核子质量Mμ=1.67×10-27kg．
解：

平均动能
8.已知0K时铜的化学势μ(0)=7.04eV，试求20K时的化学势和电子的平均能量。
解：
电子的平均能量