欧拉公式的证明和应用.docx

数学文化课程报告

欧拉公式的证明与应用

一.序言------------------------------------------------------------------------2
二.欧拉公式的证明--------------------------------------3
1.1极限法--------------------------------------3
1.2指数函数定义法-------------------------------4
1.3分离变量积分法-------------------------------4
1.4复数幂级数展开法-----------------------------4
1.5变上限积分法---------------------------------5
1.6类比求导法-----------------------------------7
三.欧拉公式的应用
2.1求高阶导数-----------------------------------7
2.2积分计算------------------------------------8
2.3高阶线性齐次微分方程的通解------------------9
2.4求函数级数展开式----------------------------9
2.5三角级数求和函数----------------------------10
2.6傅里叶级数的复数形式-------------------------10
四.结语------------------------------------------------11
参考文献-----------------------------------------------11

一．序言
欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。本文关注的欧拉公式，在复数域中它把指数函数联系在一起。特别当时,欧拉公式便写成了，这个等式将最富有特色的五个数绝妙的联系在一起，“是实数的基本单位，是虚数的基本单位，是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。源于代数，源于几何，源于分析，与在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。”[2]公式成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。

二.欧拉公式的证明
欧拉公式有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是复指数函数定义法[2]；另外从对数函数特征性质或出发[3]，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证[3]；再其次采用变上限积分法验证；最后利用中值定理的推论来证明[3]。
1.1极限法
当时，欧拉公式显然成立；
当时，考虑极限，
一方面，令则有
；（1）
另一方面，将化为三角式，得
；
由棣莫弗公式得
，
而

，
所以有
（2）
由（1）、（2）两式得
。
1.2指数函数定义法
因为对任何复数，复指数函数[4]
所以，当复数z的实部x=0时，就得
。
1.3分离变量积分法
设复数,两边对x求导数，得
，
分离变量并对两边积分，得
，，
取，得
，
故有，即
。

1.4复数幂级数展开法

，

，

，

。
1.5变上限积分法
考虑变上限积分
因为
，
又因为

。
再设，由此得，即

；
令

,
即有
。
1.6类比求导法
构造辅助函数,为在上处处有和可导，且，所以在区间上，处处可导，且

;
根据微分中值定理的一个重要推论“如果函数在区间I上的导数恒为,那么在区间上是一个常数”，在区间上是一个常数,即存在某个常数，
使得，都有
;
又因为，所以，从而，
即
。

三.欧拉公式在高等数学的应用举例
欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。
2.1求高阶导数
设。
解:设,并记，
根据欧拉公式，有

,
分离其实部和虚部，即可得所求之结果
。
2.2积分计算
求不定积分：和。
解：记，则
,
分离实部和虚部（上式中为任意复数，和分别为其实部和虚部）

。
2.3高阶线性常系数齐次微分方程的通解
求微分方程的通解。
解：因为原方程的特征方程为:
,
可知有一个实数特征根为，
其余四个特征根由，
可求