数值积分的matlab实现.docx

实验10数值积分

实验目的：
1．了解数值积分的基本原理；
2．熟练掌握数值积分的MATLAB实现；
3．会用数值积分方法解决一些实际问题。
实验内容：
积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分。这时我们一般考虑用数值方法计算其近似值，称为数值积分。
10.1数值微分简介
设函数在可导，则其导数为
（10.1）
如果函数以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值
（10.2）
表10-1
…………
一般的，步长越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数在的差分，分母称为自变量在的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似代替微商。常用的差商公式为：
（10.3）
（10.4）
（10.5）
其误差均为，称为统称三点公式。
10.2数值微分的MATLAB实现
MATLAB提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为：
dx=diff(x)
其中x是维数组，dx为维数组,这样基于两点的数值导数可通过指令diff(x)/h实现。对于三点公式，读者可参考例1的M函数文件diff3.m。
例1用三点公式计算在1.0,1.2,1.4处的导数值，的值由下表给出。
1.01.11.21.31.40.25000.22680.20660.18900.1736解：建立三点公式的M函数文件diff3.m如下：
functionf=diff3(x,y)
n=length(x);h=x(2)-x(1);
f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h);
forj=2:n-1
f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h);
end
f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h);
在MATLAB指令窗中输入指令：
x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y)
运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以在1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。
对于高阶导数，MATLAB提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下：
step1：对给定数据点（x,y），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp，供后面ppval等指令使用。其中，pp是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。
step2：对于上面所求的数据向量pp，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp。
step3：对各个分段多项式pp的系数，利用函数ppval生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp生成相应的导数分段多项式
step4：将待求点xx代入此导数多项式，即得样条导数值。
上述过程可建立M函数文件ppd.m实现如下：
functiondy=ppd(pp)
[breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);
fori=1:m
coefsm(i,:)=polyder(coefs(i,:));
end
dy=mkpp(breaks,coefsm);
于是，如果已知节点处的值x,y，可用下面指令计算xx处的导数dyy：
pp=spline(x,y),dy=ppd(pp);dyy=ppval(dy,xx);
例2基于正弦函数的数据点，利用三点公式和三次样条插值分别求导，并与解析所求得的导数进行比较。
解:编写M脚本文件bijiao.m如下：
h=0.1*pi;x=0:h:2*pi;y=sin(x);
dy1=diff3(x,y);
pp=spline(x,y);dy=ppd(pp);dy2=ppval(dy,x);
z=cos(x);
error1=norm(dy1-z),error2=norm(dy2-z)
plot(x,dy1,'k:',x,dy2,'r--',x,z,'b')
运行得结果为：error1=0.0666，error2=0.0025，生成图形见图10.1。

图10.1三点公式、三次样条插值与解析求导比较图
显然利用三次样条插值求导所得误差比三点公式求导小很多，同时由图2.15可知利用三次样条插值求导所得曲线与解析求导曲线基本重合，而三点公式在极值点附近和两个端点附近误差较大，其它点吻合