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《微积分》讲义
第一章极限
一、函数极限的概念：f＝A
要点：⑴x为变量；⑵A为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：
f＝Af＝A，f＝A
例：判定是否存在？
三、极限的四则运算法则
⑴＝f±g
⑵＝f·g
⑶＝……g≠0
⑷k·f＝k·f
四、例：
⑴
⑵
⑶
⑷
五、两个重要极限
⑴＝1＝1
⑵＝e＝e………型
理论依据：
⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，
则：limg＝A
⑵单调有界数列必有极限。
例题：
⑴＝
⑵＝
⑶＝
⑷＝
⑸＝
六、无穷小量及其比较
1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝Af＝A＋a（a＝0）
七、函数的连续性
1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量
x：
⑴x0时，y0。即：y＝0
⑵f＝f
⑶左连续：f＝f右连续：f＝f
2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：
⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、
（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，
则复合函数f(j(x))在点处连续。
例：＝
＝
＝
4、函数的间断点：
⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：
⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学
一、导数
1、函数y＝f在点处导数的定义：xy＝f－f
＝Af'＝A……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：
⑴＝0
⑵＝n·
⑶＝，＝
⑷＝·lnɑ，＝
⑸＝cosx，＝－sinx
＝x，＝－
＝secx·tanx，＝－cscx·cotx
⑹＝－
＝－
4、导数的运算：
⑴、四则运算法则：
＝±
＝·g(x)＋f(x)·
＝
例：求下列函数的导数
y＝2－5＋3x－7
f(x)＝＋4cosx－sin
y＝
⑵、复合函数的求导法则：
yu，uv，vw，wxyx
'＝''''
例：y＝lntanx
y＝ln
y＝arcsin
⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的
式子，先对y求导，然后y再对x求导。
例1：设方程xy－＋＝0确的隐函数y＝y(x)，求；
例2、求方程式＋2y－x－3＝0所确定的隐函数在x＝0处的导数；
5、导数的几何意义：曲线的切线斜率。
例1：问曲线y＝上哪点处的切线与直线y＝3x－1平行？
例2：求曲线＋＝5在点处的切线方程。
6、函数的可导性与连续性的关系：
可导必连续，但连续不一定可导。
7、高阶导数：y''，y'''，，…
例：求y＝sin5x的三阶导数。
二、微分
1、微分的概念：df(x)＝f'(x)·dx…df(x)＝f'(x)·x
例：求函数y＝当x＝2，x＝0.02时的微分。
2、微分的几何意义：y的近似值。
3、基本微分法则：
⑴d(u±v)＝du±dv
⑵d(u·v)＝u·dv＋v·du
⑶d(ku)＝k·d(u)
⑷d＝
例1、y＝sinx，求dy；
例2、y＝ln，求dy；
4、微分在近似计算中的应用
ydyf(＋x)－f()＝f'()·x
f(＋x)＝f'()·x＋f()
例：求的近似值。
三、导数的应用
1、中值定理
⑴罗尔定理：
⑵拉格朗日定理：
⑶柯西定理：
2、洛必达法则：求末定式“”“”型极限
lim＝lim
⑴基本型：，
：
：
⑵其它末定型：“0·∞”、“∞－∞”、“”、“”、“”
“0·∞”型＝或＝
x·lnx
“∞－∞”型：通分
：
对数式……
：
：
：
三、函数的单调性、极值与凹凸性
1、单调性：

2、极值：
可能的极值点
3、凹凸性：

例求函数y＝3x－的极值、增减区间、凹凸区间。
第三章一元函数积分学
一、不定积分的概念及简单运算
不定积分——求原函数
1、原函数的定义：设f、F在区间I内有定义，且：F'＝f,
则称F为f在区间I内的一个原函数
如：＝是的一个原函数。
＝cosxsinx是cosx的一个原函数。
观察：＝
＝
＝
结论：若f有原函数，它的原函数有无穷多个，它们之间相差一
个常量。即：若F为f在区间I内的一个原函数，则F＋C均为
f在区间I内的原函数。
2、不定积分定义：f在区间I内的所有原函数称为f的不定积分；
记为：fdx
即：若F为f在区间I内的一个原函数，则：fdx＝F＋C；
例：dx＝＋C；cosxdx＝sinx＋C；
3、不定积分