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微积分讲义
1、内容
经济应用数学基础，财经类，1学年，第一学期周5学时，第二学期周4学时。
微分学，积分学
2、要求：
（1）搞清基本概念
不定⎧无穷级数应用
函数→极限→连续→导数→微分→定积分→⎨
⎩微分方程应用
对象基础性质核心主要内容主要内容
（2）掌握基本运算：极限，导数，积分
（3）重视实际运用：求围积，求极值
3、方法：多思考、多理解、多练习
初等数学：“常量”的数学，高等数学：“变量”的数学
第一章函数
第一节集合
一、集合的概念
1．集合
集合是具有某个共同属性的一些对象的全体，简称集，一般用大写字母A、B、
C……表示。构成集合的每一个对象称为该集合的元素。用小写字母a、b、c……
表示
如果x是集合A的元素，记作x∈A，读作“x属于A”;
如果x不是集合A的元素，记作x∉A，读作“x不属于A”。
N表示全体自然数构成的集合；
Z表示全体整数构成的集合；
Q表示全体有理数构成的集合；
R表示全体实数构成的集合。
集合具有（1）确定性考虑：中年人集合
（2）互异性考虑：{1，2，3，1}集合有几个元素
（3）无序性考虑：{1，2，3}与{3，1，2}相同不相同
2．集合的表示法
(1)列举法：A={0，2，8}。
(2)描述法：用A={x|x具有性质P}表示。如：A={x|x2–3x+2=0}
(3)图示法：简单的一个平面区域代表一个集合（文氏图）
AB
3．集合的类型
(1)有限集：所包含的元素的个数只有有限个的集合称为有限集，如A={1，2}是
有限集。
(2)无限集：所包含的元素的个数是无限个的集合称为无限集，如B={x|x>0}是无
限集。可列集、不可列集
(3)空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作Φ。
注意：0，{0}，Φ，{Φ}（含有一个元素空集的非空集合）
(4)子集

若有两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合
A是B的子集，记作，读作A包含于B或B包含A。
显然有，AAA⊂,Φ⊂。
若集合A和集合B含有相同的元素，则两个集合相等，记作A=B。
ABABAB=⇔⊂且⊃

二、集合的运算
1、集合的并：
由集合A与集合B中的所有元素构成的集合称为集合A与B的并。记作A∪B，
读作A与B的并，AB

2、集合的交：
由集合A和集合B的所有公共元素构成的集合，称为集合A与B的交。记作
A∩B，读作A与B之交，
A∩B=Φ什么意思？两个集合是分离的，没有公共元素AB

3、差集:属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记作A-B，
A-B={x|x∈A且x∉B}
AB
4、补集：

全集：由所研究的所有事物构成的集合
−
补集：全集U中所有不属于A构成的集合称为A的补集，补集记为A或A′。
A′={x|x∈U且x∉A}

三、集合的运算律
集合运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律等一系列性质。

四、集合的笛卡尔乘积（有序集合）
(x,y)——二元有序数组，一般地，(x,y)≠(y,x)
(x,y,z)——三元有序数组
定义：设有集合A和集合B，当x∈A，y∈B，称所有有序数组(x,y)所组成
的集合为集合A与B的笛卡儿乘积，记为A×B=
A×B={(x,y)|x∈A，y∈B}
例1A={1,2,3,4},B={2,3}
A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}
B×B={(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
例2A={x|0≤x≤2}，B={y|0≤x≤1}
A×B={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}矩形区域
例3坐标平面R×R={(x,y)|x∈R，y∈R}——笛卡儿直角坐标系平面
推广：坐标空间：R×R×R={(x,y,z)|x∈R，y∈R,z∈R}

五、区间和邻域
1、实数与实轴
实数充满整个数轴而没有空隙，也就是实数不仅具有稠密性，且具有连续性。
实数与数轴上的点之间建立了一一对应关系。
⎧实数与数轴上的点是一一对应关系（数与形）
⎨
⎩某一实数集A与数轴上的某一区间的对应关系

2、绝对值
⎧xx≥0
|x|=⎨，几何意义：x点与原点之间的距离
⎩−xx<0
|x|<a,(a>0)⇔−a<x<a
|x|>b,(b>0)⇔x<−b或x>b
|x−a|：x点与a的距离
|x−3|=1：x=2或x=4
|x−3|<1：2<x<4
|x−5|<4：1<x<9
3、区间（与数集对应）interval
设a∈R，b∈R，且a<b,
（1）开区间(a,b)={x|a<x<b}，在数轴上则是以a，b为端点但不包含端点a
和b的一条线段。

（2）闭区间[a,b]={x|a≤x≤b}，在数轴上则是以a，b为端点，且包含端点a
和b的一条线段。

（3）半开半闭区