常微分方程数值解法.docx

i.常微分方程初值问题数值解法

本章讨论常微分方程初值问题数值解法，主要是差分法。解微分方程的所谓差分法的要点如下：首先是区域的离散，即将连续的求解区域离散化成有限个网格点。其次是方程的离散，例如用差商代替微商，或者对微分方程积分使之变成积分方程，然后数值积分，或者……。最后得到网格点上的近似解所满足的一个差分方程，解之即得差分解。
i.1常微分方程差分法
考虑常微分方程初值问题：求函数SKIPIF1<0满足
SKIPIF1<0（i.1a）
SKIPIF1<0(i.1b)
其中SKIPIF1<0是定义在区域SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上的函数，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是给定的常数。我们假设SKIPIF1<0对SKIPIF1<0满足Lipschitz条件，即存在常数SKIPIF1<0使得
SKIPIF1<0（i.2）
这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值SKIPIF1<0。
通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler法。为此，首先将求解区域SKIPIF1<0离散化为若干个离散点：
SKIPIF1<0（i.3）
其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0称为步长。
在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在SKIPIF1<0处，在（i.1a）中用向前差商SKIPIF1<0代替微商SKIPIF1<0，便得
SKIPIF1<0
如果忽略误差项SKIPIF1<0，再换个记号，用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0便得到
SKIPIF1<0
一般地，我们有
SKIPIF1<0（i.4）
从(i.1b)给出的初始值SKIPIF1<0出发，由上式可以依次算出SKIPIF1<0上的差分解SKIPIF1<0。
下面我们用数值积分法重新导出Euler法以及其它几种方法。为此，在区间SKIPIF1<0上积分常微分方程（i.1a），得
SKIPIF1<0（i.5）
用各种数值积分公式计算（i.5）中的积分，便导致各种不同的差分法。例如，若用左矩形公式就得到Euler法（i.4）。如果用右矩形公式，便得到下面的：
SKIPIF1<0（i.6）
类似地，如果用梯形公式，就得到
SKIPIF1<0(i.7)
当SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0是非线性函数的时候，不能由（i.6）和(i.7)从SKIPIF1<0直接算出SKIPIF1<0，称这一类方法为隐式，通常采用某种迭代法求解。例如，将一般的隐式方法写成
SKIPIF1<0(i.8)
则可以利用如下的迭代法由SKIPIF1<0算出SKIPIF1<0：
SKIPIF1<0(i.9)
关于SKIPIF1<0的迭代通常只需进行很少几步就可以满足精度要求了。
为了避免对隐式方法进行迭代的麻烦，比如说对于改进的Euler方法（i.7），可以采用某种预估法近似算出SKIPIF1<0，然后再用（i.7）作校正，这就导致所谓预估校正法。下面给出一个例子：
SKIPIF1<0（i.10）
这是一个多步法，即计算节点SKIPIF1<0上的近似值SKIPIF1<0时，除了用到前一点的近似值SKIPIF1<0之外，还要用到SKIPIF1<0，甚至可能用到SKIPIF1<0。而用前面的各种Euler法计算节点SKIPIF1<0上的近似值SKIPIF1<0时，只用到SKIPIF1<0，因此称之为单步法。
下面给出另一个多步法的例子。在区间SKIPIF1<0上积分（i.1a），得
SKIPIF1<0
用Simpson公式(即把被积函数看作二次函数)近似计算积分，便得到
SKIPIF1<0（i.11）
用多步法（i.10）或（i.11）计算时，必须先用某种单步法由SKIPIF1<0计算出SKIPIF1<0，称为造表头。然后再逐次算出SKIPIF1<0。
一般说来，多步法比Euler法等简单的单步法精度要高一些。下面我们讨论一类所谓Ronge-Kutta法。他们是单步法，但是其精度可以与多步法比美。最常用的是下面的标准Ronge-Kutta法和Gear法：
SKIPIF1<0（i.12）
SKIPIF1<0(i.13)
从几何上，