常微分方程数值解法.ppt

的数值解法。它是寻求解曲线y(x)在一系列离散节点
x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＜…
上准确值y(xi)的近似值yI(i=0,1,2,…)相邻两个节点的间距h=xi+1-xi称为步长。今后如不特别说明，总是假定h为定数，这时节点为
xi=x0+ih(i=0,1,2,…)
初值问题的数值解法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2…计算yn+1的递推公式即可。
6.1欧拉方法
6.2龙格-库塔方法
6.3一阶方程组
6.4应用实例6.1欧拉方法2.Euler方法
Euler方法是解方程(61)的最简单的数值方法。
3.误差
为简化分析，人们常在yn为准确的假定下(即yn=y(xn))，估计误差
en+1=y(xn+1)-｛y(xn)+hf［xn,y(xn)］｝
这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假定，累积了n步的误差，称为整体截断误差。其表达式为
En+1=y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn,yn)］［例1］证明Euler方法能准确地求解以下初值问题：

分析：因为准确解,所以
由Euler公式得y0=y(x0)，假定yn=y(xn)，
往证
证明：
由Euler
公式得6.2龙格-库塔方法[例4]证明对于任意参数，下列格式都是二阶的：6.3一阶方程组解：根据质点运动学基本原理，火箭在主动飞行段理想运动状态的微分方程为
这里v(t)是火箭运动速度，θ(t)是火箭运动方向与水平方向的夹角，g=9.8m/s是重力加速度，火箭质量

这实际上就是在t=0.1s时v0=50m/s，θ0=45°的初始条件下求上面微分方程组在t=1.1s时速度v和方向角θ(上机计算留为作业)。6.4应用实例其中，λ=1-μ，

初始条件：这里，y1，y2是卫星相对于地球和月球的坐标。假定卫星围绕地球和月球旋转时，能使地球和月球总位于y1轴上，自变量x是时间，它不明显地在上述方程中出现。选择长度、质量和时间的单位，以使地球位于(y1，y2)=(-μ，0)，月球位于(y1，y2)=((1-μ)，0)。常数μ是月球质量与月球加上地球的总质量之比，如果令m1=地球质量，m2=月球质量，则
。坐标系如图6-4所示。图6-4坐标系这个问题称为有约束的三体问题，可用一阶方程组的数值解法求解。问题的解是以T=6.192169为周期的轨迹，如图6－5所示。