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广义矩估计
矩估计
总体矩与样本矩
设总体X的可能分布族为，其中来自参数空间Θ的是待估计的未知参数。假定总体分布的m阶矩存在，则总体分布的k阶原点矩和k阶中心矩为
SEQ公式\*ARABIC1
SEQ公式\*ARABIC2
两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：
SEQ公式\*ARABIC3
SEQ公式\*ARABIC4
一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本，其k阶原点矩是：
（）SEQ公式\*ARABIC5
当k=1时，m1表示X的样本均值。
X的k阶中心矩是：
（）SEQ公式\*ARABIC6
当k=2时，B2表示X的样本方差。
矩估计方法
矩方法（momentmethod）是一种古老的估计方法。其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k阶矩为的函数。根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：

即：
SEQ公式\*ARABIC7
上式确定了包含K个未知参数的K个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到的一组解。因为mk是随机变量，故解得的也是随机变量。这种参数估计方法称为矩方法，即是的矩估计量。
定理：X的分布函数F(X)存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩mv，则矩的期望和方差为：
，SEQ公式\*ARABIC8
证明：

。
矩方法的一般步骤：
Step1：总体矩条件（populationmomentcondition）：。一般情况下，矩条件可以写为：。
给定观测样本，总体矩无法计算。但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。
Step2：样本矩条件（samplemomentcondition）：。一般情况下，矩条件可以写为：

根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即

Step3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。
在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。
例STYLEREF1\s1.SEQ例\*ARABIC\s11假定随机变量yt的均值存在但未知，利用矩方法进行估计。
Step1：总体矩：令，则
Step2：样本矩为：
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即

解上述方程即可得到的矩估计量
矩方法的几个特例
很多估计方法（比如OLS、TSLS等）都是矩估计的特殊形式。
OLS估计
例2：在回归方程中，
，
其中，。
假定的条件均值为0，则

由和迭代期望公式可以得出：

其对应的样本矩条件为：

解上述方程可以得到MM估计量：

IV估计
考虑如下回归模型：
SEQ公式\*ARABIC9
其中，，x1t包括K1个外生变量，但包括K2个内生变量，即
SEQ公式\*ARABIC10
SEQ公式\*ARABIC11
设x2的工具变量为z2，z2包括K2个工具变量，z2满足
SEQ公式\*ARABIC12
SEQ公式\*ARABIC13
（10）（13）共同构成了新的矩条件，定义

z为工具变量，其中x1t仍然作为自身的工具变量，而z2t作为x2t的工具变量。
K=K1+K2个总体矩条件为：
SEQ公式\*ARABIC14
相应的样本矩为：
SEQ公式\*ARABIC15
MM估计量为：
SEQ公式\*ARABIC16
广义矩
广义矩（GeneralizedMomentMethod）是由矩方法发展而来，其奠基之作是Hansen（1982）。
GMM方法的引入
设模型设定为：

其中，，，zt为工具变量（1L）。令，则L个矩条件为：
SEQ公式\*ARABIC17
即：
对应的样本矩条件为：
SEQ公式\*ARABIC18
从上式可以看出，
(1)L<K，即工具变量的个数小于未知参数的个数时，矩条件方程无解，参数不能识别。
(2)L=K，即工具变量的个数等于未知参数的个数时，矩条件方程唯一解，参数恰好识别。估计量为：
SEQ公式\*ARABIC19
如前所述，OLS估计量和IV估计都是这种情况下的特殊形式。
(3)L>K，即工具变量的个数大于未知参数的个数时，采用不同的矩方程可以得到不同的解，因此，矩方程具有多个解。
秩条件与阶条件
从（17）式得到的矩条件方程为：

可以看出，要使得有解，。如果，则存在唯一解；如果，则无解；，则存在多个解。要得到的唯一解，矩阵的转置必须存在。而为阶矩阵，因此，有唯一解的充分条件是，称之为工具变量的秩条件。
秩条件暗含的另外一个假定是L≥K，即工具变量的个数大于内生解释变量的个数。称之为工具变量的