平面向量的概念及线性运算.docx

§5.1平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念
名称定义备注向量既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______)平面向量是自由向量零向量长度为______的向量；其方向是任意的记作______单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向____或____的非零向量0与任一向量______或共线共线向量__________________的非零向量又叫做共线向量相等向量长度______且方向______的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度______且方向____的向量0的相反向量为02.向量的线性运算
向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝____________.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
________法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝________；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝______λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝________；
λ(a＋b)＝_______3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.
[难点正本疑点清源]
1.向量的两要素
向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.
2.向量平行与直线平行的区别
向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.

1.化简eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(QP,\s\up6(→))＋eq\o(MS,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))的结果为________.
2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))＝____________.
3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.
4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(CP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PD,\s\up6(→))，则实数λ的值为________.
5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，那么()
A.eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→)) B.eq\o(AO,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))
C.eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→)) D.2eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))

题型一平面向量的概念辨析
例1给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________.
探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.
(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
(5)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系是：eq\f(a,|a|)是a方向上的单位向量.
判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>