导数中的求参数取值范围问题.docx

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题
常见基本题型：
（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。
（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。
例1.已知R，函数.（R，e为自然对数的底数）
（1）若函数内单调递减，求a的取值范围；
（2）函数是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.
解：（1）
=.
上单调递减，则对都成立，
对都成立.
令，则
,.
（2）①若函数在R上单调递减，则对R都成立
即对R都成立.
对R都成立
令，
图象开口向上不可能对R都成立
②若函数在R上单调递减，则对R都成立，
即对R都成立，
对R都成立.

故函数不可能在R上单调递增.
综上可知，函数不可能是R上的单调函数
例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
解：

令得，
故两个根一正一负，即有且只有一个正根
函数在区间上总不是单调函数
在上有且只有实数根
故，
而单调减，，综合得

例3.已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，若对任意，，不等式
恒成立，求实数的取值范围．
解：（I）的定义域是

由及得；由及得，
故函数的单调递增区间是；单调递减区间是
（II）若对任意，，不等式恒成立，
问题等价于，
由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，
故也是最小值点，所以；

当时，；
当时，；
当时，；
问题等价于或或
解得或或
即，所以实数的取值范围是。
例4．设函数,
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)，
可得－mlnx≥－x，x∈(1，＋∞)，即m≤eq\f(x,lnx).
记φ(x)＝eq\f(x,lnx)，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.
求得φ′(x)＝eq\f(lnx－1,ln2x)
当x∈(1，e)，φ′(x)＜0；
当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)＞0.
故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，
即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.
函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，
在[1,3]上恰有两个相异实根．
令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－eq\f(2,x).
当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；
当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.
∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．
故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2.
又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3，
∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)．
故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3].

二、针对性练习
1.已知函数若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。
解：由，得．
又函数为[1，4]上的单调减函数。
则在[1，4]上恒成立，．
所以不等式在[1，4]上恒成立．
即在[1，4]上恒成立。
设，显然在[1，4]上为减函数，
所以的最小值为
的取值范围是
2.已知函数
（1）若存在，使成立，求的取值范围；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
解:（1）即
令
时，时，
在上减，在上增.
又时，的最大值在区间端点处取到.
，

在上最大值为
故的取值范围是，
（3）由已知得时，恒成立，
设
由（2）知当且仅当时等号成立，
故，从而当
即时，为增函数，又
于是当时，即，时符合题意.
由可得从而当时，

故当时，为减函数，又
于是当时，即
故不符合题意.综上可得的取值范围为
3.已知函数，设在（0，2）上有极值，求a的取值范围.
解：由可得，