对策论运筹学.docx

习题解答
已知矩阵博弈局中人I的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。
（1）（2）
解:(1)所以,V=5
(2)
所以,,,,V=-2

2．甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人员可组成3个队，根据以往的比赛记录，已知各种组成队法相遇后甲国的得分如下表所示
甲
乙1队2队3队1队-51-72队3243队8-1-84队-2-16问双方应各派哪个队上场是最优决策?
解:
所以,V=2
答:双方应均派第2队出场

对任意一个m行n列的实数矩阵A=（aij）,试证有下式成立

证:

某城区有A、B、C三个居民小区，分别居住着40％，30%，30%的居民，有两个公司甲和乙都计划在区内建造超市，公司甲计划建两个，公司乙计划建一个，每个公司都知道，如果在某个小区内设有两个超市，那么这两个超市将平分该区的消费，如果在某个小区只有一个超市，则该超市将独揽这个小区的消费。如果在一个小区没有超市，则该小区的消费将平分给三个超市。每个公司都想使自己的营业额尽可能地多．试把这个问题表示成一个矩阵博弈，写出公司甲的赢得矩阵，井求两个公司的最优策略以及各占有多大的市场份额。
解:甲公司的策略集为{(A,B),(A,C),(B,C)}
乙公司的策略集为{A,B,C}
甲的赢得矩阵为:
所以甲选(A,B)或(A,C),占70%份额。乙选A,占30%份额.

5．一个病人的症状说明他可能患a，b，c三种病中的一种，有两种药C，D可用，这两种药对这三种病的治愈率为
病
药abcC0.50.40.6D0.70.10.8问医生应开哪一种药才能最稳妥?
解:最优策略为
答:应开C药较为稳妥.
设矩阵博弈局中人I的赢得为
A=
(1)当局中人I采用策略x=(0.2，0.5，0.3)时，Ⅱ应采用什么策略?
(2)当局中人Ⅱ采用策略y=(5/7，2/7)时，I应采用什么策略?
x和y是否是最优策略?为什么?若是，试给出另一个局中人的最优策略和博弈值。
解:(1)设II的策略为Y=(y1,y2),则

得:y1=0,y2=1,V1=-0.3,所以最优解为(0,1),V=-0.3
(2)设II的策略为X=(x1,x2,x3),则

所以,即I的最优策略为
(3)对于(x1,x2,x3)=(0.2,0.5,0.3),因为
所以(0.2,0.5,0.3)不是最优解.
对于(y1,y2)=(5/7,2/7),因为满足:

所以(5/7,2/7)是II的最优解,对应I的最优策略为(0,2/7,5/7),V=4/7

7.给定矩阵博弈局中人I的赢得为
A=
试验证x*=(1/2，1/2，0)和y*=(1/4，0，3/4)分别是局中人I和Ⅱ的最优混合策略，井求博弈值。
解:可验证满足:
(1)若
(2)若
(3)若
(4)若
且V=2

已知矩阵博弈的赢得矩阵如下，试用线性方程组法求最优混合策略及博弈值。
（1）（2）
解:(1)将矩阵中各元素减2得:
2=

解得:X*=(6/13,3/13,4/13),Y*=(4/13,3/13,6/13),V=50/13
(2)

解得:X*=(1/3,1/3,1/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=1

9．用简便方法（降阶或化零元）求给定矩阵博弈的解与值，赢得矩阵如下
（1）（2）
解:(1)用优超法简化矩阵得:
解方程组得:
X*=(0,3/5,0,2/5),Y*=(0,0,2/5,3/5),V=6/5
(2)用优超法则简化矩阵得:
各元素减7得:则解方程组得:
所以得X*=(0,0,3/7,4/7,0),Y*=(0,0,0,4/7,3/7),V=37/7

10．用线性规划求下述矩阵博弈的混合策略解及博弈值，已知其赢得矩阵为
（1）（2）
解:(1)线性规划:

解得:X*=(1/3,0,2/3),Y*=(1/3,1/3,1/3),V=4/3
(2)矩阵各元素加2得:
A+2=线性规划为:

解得:X*=(0,0,1),Y*=(2/5,3/5,0),V=4-2=2

甲、乙两方交战。乙方用三个师守城，有两条公路通入该城，甲方用两个师攻城，可能两个师各走一条公路，也可能从一条公路进攻。乙方可用三个师防守某一条公路，也可用两个师防守一条公路，用第三个师防守另一条公路．哪方军队在一条公路上数量多，哪方军队就控制住这条公路．如果双方在同一条公路上的数量相同，则乙方控制住公路和甲方攻入城的机会各半，试把这个问题构成一个博弈模型。并求甲、乙双方的最优策略以及甲方攻入城的可能性。
解:设两条路为A,B
甲方攻城的策略集为:{2A,AB,2B}
乙方宁城的策略集为:{3A,2AB,A2B,3B},
甲方赢得矩阵为:

线性方程组为:

解得:x*=(1/3,1/3,1