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第4讲定积分的概念与微积分基本定理

【2013年高考会这样考】
1．考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．
2．利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．
【复习指导】
定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等．
基础梳理
1．定积分

(1)定积分的定义及相关概念
设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上用分点
a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b.
把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为
Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.

2．微积分基本定理
如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则＝F(b)－F(a)，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
3．定积分的应用
(1)定积分与曲边梯形的面积
定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定：

作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即
s＝v(t)dt.

一种思想
定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．
三条性质
(1)常数可提到积分号外；
(2)和差的积分等于积分的和差；
(3)积分可分段进行．
一个公式
由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．
双基自测
1．(2011·福建)等于()．

A．1B．e－1C．eD．e＋1
解析(ex＋2x)dx
＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(ex＋x2))eq\o\al(1,0)
＝(e＋1)－1＝e.
答案C
2．(2011·湖南)由直线x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(π,3)，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为()．
A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)
解析S＝∫eq\f(π,3)－eq\f(π,3)cosxdx＝2∫eq\f(π,3)0cosxdx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(2sinx))eq\f(π,3)0＝eq\r(3).
答案D
3．(2011·山东)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()．
A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,12)
解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝x3，))得交点坐标为(0,0)，(1,1)，因此所求图形面积为S＝(x2－x3)dx＝eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－\f(1,4)x4))))eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,12).
答案A
4．如图，

在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()．
A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3,π)
答案A
5．(人教B版教材习题改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________．
解析s＝(3t＋2)dt＝eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)t2＋2t))))eq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)×4＋4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋2))＝10－eq\f(7,2)＝eq\f(13,2)(m)．
答案6.5m

考向一定积分的计算

【例1】计算下列积分

解(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\