定积分的概念与微积分基本定理.doc

第页
定积分的概念与微积分基本定理
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.
一、定积分的概念：
从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，
事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限
1定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上取一点，作和式：
当）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分。记为：即=
其中函数叫做，叫做变量，区间为区间，积分，积分。
说明：（1）定积分是一个常数
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程
2定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数连续且恒有。那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积。
3定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）
性质3（定积分的线性性质）
性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
性质4
性质1

微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
令，有
例1计算下列定积分
1．2.；3.。
例2．计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.
练习：
1.若则（）
A. B. C. D.1
2.定积分的值为（）
3．若则的大小关系为（）
A． B．
C． D．
4．已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（）
A．0是的极大值，也是的极大值
B．0是的极小值，也是的极小值
C．0是的极大值，但不是的极值
D．0是的极小值，但不是的极值
5：已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）
A． B． C． D．
二、定积分求面积
1．直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）
A. B. C. D.4
2．直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与所围成的图形的面积等于（）
A． B．2 C． D．[来源:]
3．已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为_________．
一、选择题（共4小题，每小题10分，共40分）
1.下列各定积分的值等于1的是（）
A. B. C. D.
2.将和式的极限表示成定积分（）
A. B. C. D.
3.求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）
A.［0，］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］
4.如下图，阴影部分的面积为（）
A.dx
B.dx
Cdx
D.dx
二、填空题（每题10分，共40分）
5.由定积分的几何意义分析，则=_________
6.将和式表示为定积分___________
7.按万有引力定律，两质点间的吸引力，ｋ为常数，为两质点的质量，r为两质点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点沿直线移动至离的距离为b处，试求所做的功是（b＞a）________________．
8.由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为_____________________．
三、解答题（共20分）
9.利用定义求定积分的值。
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
基础巩固
一、选择题