高中数学 导数及其应用 152 定积分习题 苏教版选修22.docx

1.5.2定积分
明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义．

1．定积分的概念
一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有定义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx(Δx＝eq\f(b－a,n))，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xi，…，xn.作和
Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx，如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：S＝ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx，
其中，f(x)称为被积函数，[a，b]称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限．
2．定积分的几何意义
一般地，定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx的几何意义是，在区间[a，b]上曲线与x轴所围图形面积的代数和．(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)

探究点一定积分的概念

思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近．
思考2怎样正确认识定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx?
答(1)定积分ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx是一个数值．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃeq\o\al(b,a)f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了定积分的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1利用定积分的定义，计算ʃeq\o\al(1,0)x3dx的值．
解令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).
(2)以直代曲、作和
取ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，则
ʃeq\o\al(1,0)x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(i,n))·Δx
＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(i,n))3·eq\f(1,n)
＝eq\f(1,n4)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i3＝eq\f(1,n4)·eq\f(1,4)n2(n＋1)2＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2.
(3)逼近
n→＋∞时，eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2→eq\f(1,4).
∴ʃeq\o\al(1,0)x3dx＝eq\f(1,4).
反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1用定义计算ʃeq\o\al(2,1)(1＋x)dx.
解(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝eq\f(1,n).
(2)以直代曲、作和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))上取点ξi＝1＋eq\f(i－1,n)(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋eq\f(i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，从而得eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(2＋eq\f(i－1,n))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋\f(i－1,n2)))
＝eq\f(2,n)·n＋eq\f(1,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f(n－1,2n).
(3)逼