高中数学必修⑤23等差数列的前n项和学案.docx

课题：2.5等差数列的前n项和
编制：苏同安班级姓名
学习目标：
（1）理解等差数列前项和的定义以及等差数列前项和公式推导的过程，并理解推导此公式的方法——倒序相加法，记忆公式的两种形式；
（2）理解等差数列通项公式与前项和的公式涉及的五个字母SKIPIF1<0；已知其中三个量求另两个值；
（3）会用等差数列的前SKIPIF1<0项和公式解决一些简单的与前SKIPIF1<0项和有关的问题（包括实际问题），并初步感受解决数列问题常用的三种思想：方程思想，整体思想，函数思想；
（4）通过了解历史上有名的高斯求和的方法，发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律，然后体验从特殊到一般的研究方法。通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
（5）通过公式的推导过程，感受数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，逐步培养善于观察生活，从生活中发现问题，并运用数学知识和方法科学地解决问题的能力.
学习重点：等差数列前项和公式的推导和应用
学习难点：公式推导的思路及综合运用
学习过程：
【双基回眸】
★请同学们回顾一下学过的等差数列基本知识和性质：
等差数列定义：即SKIPIF1<0(n≥2)
②a，A，b组成的等差数列可看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的。
③等差数列通项公式：SKIPIF1<0(n≥1)
④SKIPIF1<0d
⑤在等差数列中，若m+n=p+q则SKIPIF1<0SKIPIF1<0
【合作探究】
★等差数列在现实生活中比较常见，如：建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10.问共有多少根圆木？如何用简便的方法呢？
当然，若是数少了，即使口算，也能迅速得出，若数多了呢，比如：1+2+3+……+100=？
还能不能迅速算出呢？
在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出1+2+3+……+100和的好戏。
同学们或许都听说过这个故事，高斯是怎样来计算的？
答：
（数学王子，德国数学家高斯10岁的时候，有一次数学教师布特纳要求学生将前100个自然数加起来，即求1+2+3+……+100的和。老师刚解释完题目，高斯就把写有答案的石板交了上去，布特纳连看也没看，心想这个全班最小的学生准是瞎写了些什么，或者交了白卷，过了很久，其他学生才一个个把石板叠在上面，等到布特纳发现只有高斯的石板上写着一个正确的答案而比他大的孩子都错了的时候，才大吃一惊，因为在这之前，他从未教过学生计算等差数列。那么高斯是怎样巧妙的算出结果的呢？我们分析，可能是高斯将这100个数分成50组（1+100），（2+99），（3+98），……，（50+51），而每组两数之各都等于101，因此，1+2+3+……+100=101×50=5050。）
高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。
但这只是前100项的和，我们想知道前n项的和怎样求，更想知道有没有一个公式来表示。这就是我们今天要研究的问题……
首先，我们根据高斯的算法，来计算一下1，2，3，…，n，…的前n项的和：
（学生分组讨论，展示做法）

从而初步总结出推导等差数列前n项和的一般方法：
●借此东风，推导出等差数列前n项和
可请同学们先根据1+2+…+n-1+nSKIPIF1<0来推测一下
推测：SKIPIF1<0
【合作推导】

请同学们把把SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，看能得到什么：

【点评】（1）对于第一个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了；对于第二个公式，只要知道等差数列首项、公差和项数就可以求等差数列前n项和了。实际解题时可根据题目给出的已知条件选择合适的公式来解决。
（2）这两个公式除了“数”的本质外，用“形”也可以直观地说明一下：

还可用梯形面积公式来说明等差数列前项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列前项和的两个公式.

（3）除此之外，等差数列还有其他方法，例如：
=
=SKIPIF1<0
=SKIPIF1<0
【互动达标】
【自主达标】1。根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和Sn.
⑴⑵
答：（1）Sn=;(2)Sn=
2.求集合M={m|m=2n-1.n∈SKIPIF1<0，且m<60}的元素个数，并求这些元素的和。

【互动达标】
既然数列与实际生活有密切关系，那么，首先来探索一个实际问题：
问题.12000年11月14日教育部下发了《关于