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零件参数设计的数学模型
指导老师数学建模教练组

李俊（热9501）罗建梅（热9502）王震宇（供9502）

摘要：本文基于Y偏离Y0造成的损失和零件成本，根据原设计给定的标定值和容差，使用网格法和随机搜索法,利用计算机编程计算产品分别为正品、次品、废品时的概率，进而分析产品是正品、次品、废品的概率的稳定性，得到较为精确且合理的结果，最后求出原设计的总费用（损失费+成本费）为313.4万元。
本文通过分析参数x1,x2,…,x7对y的影响，在原设计的标定值附近找出一个使y在其附近的变化比较稳定的点，并使y=1.5，再利用计算机仿真实验，综合判断容差等级方案，确定出比较理想的标定值和容差等级方案：最后确定的方案比原设定节约费用271.2425万元。

一、问题的重述

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。
在进行零件参数设计时，由于零件组装产品的参数偏离预先设定的目标值，所以造成质量损失，偏离越大，损失越大；且零件的容差大小决定了其制造成本，容差设计的越小，成本越高。
有一种离子分离器某参数（记作Y)由7个零件的参数(记作X1,X2,…X7)决定，经验公式为：

Y=174.42

Y的目标值(记作Y0)为1.50。若Y偏离Y00.1时，产品为次品，质量损失1000(元)；若Y偏离Y00.3时，产品为废品，损失9000(元)。
零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为A、B、C三个等级，用与标定值的相对值来表示，A等为1%，B等为5%，C等为10%。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本(元)如下表(符号/表示无此等级零件):

标定值容许范围C等B等A等X1[0.075,0.125]/25/

X2[0.225,0.375]2050/X3[0.075,0.125]2050200X4[0.075,0.125]50100500X5[1.125,1.875]50//X6[12,20]1025100X7[0.5625,0.935]/25100
现进行成批生产,每批产量1000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：
X1=0.1，X2=0.3，X3=0.1，X4=0.1，X5=1.5，X6=16，X7=0.75；容差均取最便宜的等级。
综合考虑Y偏离Y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数(包括标定值和容差)，并与原设计的总费用相比较。

二、模型假设及符号约定

模型假设
1．零件的总损失取决于各种类型的零件出现的概率；
2．零件的参数符合正态分布；
3．符合要求的零件只考虑自身成本，而不再考虑其它因素的影响。

符号约定
M表示成批生产时每批产量的个数，此题为1000个；
a表示产品为次品时的质量损失为1000元；
b表示产品为废品时的质量损失为9000元；
表示第i个零件参数对应的均方差；
表示一批零件第i个零件参数的平均值，即期望值；
表示第i个零件（变量）的新值；
Ri表示变量Xi对的搜索区域；
Kd表示区域缩减系数，其值正数；
r表示[0，1]之间服从均匀分布的伪随机数；
k表示随机概率的分布系数，是个正奇数；
zy偏离的绝对值；
Py偏离造成的损失；
P’表示零件的成本；
Qy偏离造成的损失和零件成本

三、问题的分析

由于标志产品性能的参数是由零件的参数所决定的。而零件的参数包括标定值和容

差两部分。如果将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值。那么，根据原理，在其中的概率为：0.9974。显然，在此之外的概率为：0.0026。相比之下，在其之外的可以忽略不计。故此，在生产部门无特殊要求时，容差规定为均方差的3倍是合理的。由题意，我们还可以得到：容差与标定值的相对值可以判断容差的等级（进而可以确定零件的成本），即：

A等：B等：0.1<0.3C等：

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。此时要考虑到产品的损失和零件成本，而产品的损失和零件的成本都是由零件参数决定。所以，我们就先从产品的零件参数着手，逐步求优。
零件参数x1,x2,…,x7对y的影响由经验公式：

来确定，因的目标值（记作）为1.50。且已知：当偏离时，产品为次品，质量损失为1,000（元）；当偏离时，产品为废品，损失为9,000（元）。可见，选定的标定值x1,x2,…,x7使得y的值接近1.5，且在（x1,x2,…,x7）附近y的取值稳定在1.5附近。所以，我们所设计零件参数，就要尽可能使产品为正品的数量多，次品的数量少、尽量使废品不出现，从而使得总费用（