食饵—捕食者模型.docx

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程

食饵—捕食者模型
3.讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵—捕食者系统。

一食饵—捕食者
选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设/为食饵(食用鱼)在时刻的数量，/为捕食者(鲨鱼)在时刻的数量，为食饵(食用鱼)的相对增长率，为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，为单位数量捕食者（相对于）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于)消耗的供养甲实物量的倍；为单位数量食饵（相对于）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于)消耗的供养食饵实物量的倍；为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率
二模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
三模型建立
食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为，即，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是满足方程
(1)
比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是满足
(2)
比例系数反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。
不考虑自身阻滞作用:数值解
令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2使用Matlab求解
求解如下
1）先建立M文件
functionxdot=shier(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];
2)在命令窗口输入如下命令：
ts=0:0.1:15;
>>x0=[25,2];
>>[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
>>ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
ans=
省略
>>plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),

>>>>pause
>>plot(x(:,1),x(:,2)),grid,

（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3，2.0，y的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）
考虑阻滞作用
前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面（1），（2）两式中加入Logistic项，即建立以下数学模型：
(3)
(4)
四平衡点进行理论分析
下面对（3）（4）进行平衡点稳定性分析：
由微分方程(3)、(4)

令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0
得到如下平衡点:
,,
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时()才有意义，所以，对而言要求>0。
按照判断平衡点稳定性的方法计算：

根据等于主对角线元素之和的相反数，而为其行列式的值，我们得到下表：
平衡点稳定条件<1>1不稳定
五模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：
1)对而言，有=，=，故当<1时，平衡点是稳定的。
意义：如果稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。
2)对而言，有=，=，故当>1时，平衡点是稳定的。
意义：如果稳定，则两物种恒稳发展，会互相依存生长下去。
3)对而言，由于，，又有题知>0,>0,故<0,即是不稳定的。

六用MATLAB求解验证
下面将进行MATLAB软件求解此微分方程组中的、的图形及相轨线图形。
设，，，，,,使用MATLAB软件求
1)建立M文件
functiony=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3