零输入响应与零状态响应.docx

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2008级信号与系统课程设计

信号与系统课程设计报告书

课题名称零输入响应与零状态响应姓名梁何磊学号20086354院、系、部电气系专业电子信息工程指导教师孙秀婷康朝红

2011年1月11日
连续时间系统的LTI系统的时域仿真
-------零输入响应与零状态响应
20086354梁何磊
一、设计目的掌握信号经过LTI系统的时域分析方法。巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB对实际问题进行仿真。学会对带有非零起始状态的LTI系统进行仿真。
二、设计要求（1）根据实际问题建立系统的数学模型，对给定的如下电路，课本第二章例2-8，参数如图所示；建立系统的数学模型，并计算其完全响应；

（2）用MATLAB描述此系统；
（3）仿真实现并绘制输出信号的波形。要求用两种方法仿真实现完全响应。对仿真结果进行比较，并与理论值比较。
三、设计方法与步骤：
一般的连续时间系统分析有以下几个步骤:①求解系统的零输入响应;②求解系统的零状态响应;③求解系统的全响应;④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形.下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB软件分析系统的具体方法.
1．连续时间系统的零输入响应
描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为：

已知y及各阶导数的初始值为y(0),y(1)(0)，…y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。
建模
当LIT系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）

其中p1,p2,…,pn是特征方程a1λn+a2λn-1+…+anλ+an=0的根，它们可以用root(a)语句求得。各系数由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有

………………………………………………………………………………………

写成矩阵形式为:P1n-1C1+P2n-1C2+…+Pnn-1Cn=Dn-1y0

即V•C=Y0其解为：C=V\Y0
式中

V为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander。
以下面式子为例：

初始条件为,；
MATLAB程序：
a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');
n=length(a)-1;
Y0=input('输入初始条件向量Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]=');
p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0';
dt=input('dt=');te=input('te=');
t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t));
fork=1:ny=y+c(k)*exp(p(k)*t);end
plot(t,y);grid
xlabel('t');ylabel('y');
title('零输入响应');
程序运行结果：
用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入
a=[1,2,3]Y0=[2,7]dt=0.002te=7
结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0。

2．连续时间系统零状态响应的数值计算
我们知道，LTI连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，

例如，对于以下方程:
可用输入函数，得出它的冲激响应h，再根据LTI系统的零状态响应y（t）是激励u（t）与冲激响应h（t）的卷积积分。
注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a或b中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。
求函数的零状态响应

及初始状态。输入函数。
建模
先求出系统的冲激响应，写出其特征方程

求出其特征根为p和p，及相应的留数r，r；则冲激响应为

输入y（t）可用输入u（t）与冲激响应h（t）的卷积求得。
MATLAB程序：
a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');
b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]=');
dt=input('dt=');te=input('te=');
t=0:dt:te;
u=input('输入函数u=');
te=t(end);
dt=te/(length(t)-1);
[r,p,k]=residue(b,a);
h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);
subplot(2,1,1),plot(t,h);grid
title('冲激函数');
y=conv(u,h)*dt;
subplot(2,1,2),
plot(t,y(1:length(t)));gri