2014年高考真题：理科数学（湖北卷）精校版 Word版含答案.doc

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.为虚数单位，则（）
A．B.C.D.
2.若二项式的展开式中的系数是84，则实数（）
2B.C.1D.
3.设为全集，是集合，则“存在集合使得”是“”的（）
A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件
C.充要条件D.既不充分也不必要的条件

根据如下样本数据
x345678y4.02.50.5得到的回归方程为，则（）
B.C.D.
在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），
（1,2,1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

①和②B.③和①C.④和③D.④和②
若函数上的一组正交函数，给出三组函数：
①；②；③
其中为区间上的正交函数的组数是（）
A.0B.1C.2D.3
由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（）
A.B.C.D.

8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.
该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）
A.B.C.D.
9.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A.B.C.3D.2
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A．[]B．[]C．[]D．[]
填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
必考题（11—14题）
11.设向量，，若，则实数________.
12.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则________.
13.设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果________.

第13题图
设是定义在上的函数，且，对任意，若经过点的直线与轴的交点为，则称为关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数.
（Ⅰ）当时，为的几何平均数；
（Ⅱ）当时，为的调和平均数；
（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）
（选修4-1：几何证明选讲）
如图，为⊙外一点，过点作⊙的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交⊙于两点，若则.

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分11分）
某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位:h）的变化近似满足函数关系:

（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；
（Ⅱ）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？

18.（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式.
（Ⅱ）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.

19.（本小题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.
（Ⅰ）当时，证明：直线∥平面;
（Ⅱ）是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（本小题满分12分）
计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；
年入流量X40＜X＜