随机过程(1).ppt

123随机过程的定义5678例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：101112131415161718192021222324有限维分布函数的性质有限维分布函数族有限维特征函数族：2829303132333435363738求的均值函数和相关函数。§3复随机过程相关函数二阶矩过程正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程正态过程维纳过程平稳过程二阶矩过程例题：设{X(t)t∈T}是正交增量过程T=[ab]为有限区间且规定X(a)=0求其协方差函数。独立增量过程正交增量过程4、独立增量过程其有限维分布可由增量的分布所确定即有限维分布可由增量分布来确定。5.平稳独立增量例题：考虑一种设备一直使用到损坏为止然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量令N(t)为在时间段[0t]内更换设备的件数通常可以认为{N(t)t≥0}是平稳独立增量过程。马尔可夫过程例证明独立增量过程是马尔可夫过程定义：设{X(t)t∈T}是随机过程若对任意正整数n及t1t2…tn∈T(X(t1)X(t2)…X(tn))是n维正态随机变量则称{X(t)t∈T}是正态过程或高斯过程。定义：设{X(t)t∈T}是随机过程如果对任意常数h和正整数nt1t2…tn∈Tt1+ht2+h…tn+h∈T(X(t1)X(t2)…X(tn))与(X(t1+h)X(t2+h)…X(tn+h))有相同的联合分布则称{X(t)t∈T}为严平稳过程或侠义平稳过程。广义平稳过程65666768697071727374757677787980818283848586878889909293949596979899100101102103104105106107例10：某计算机机房的一台计算机经常出故障研究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态收集了24个小时的数(共作97次观察)用1表示正常状态用0表示不正常状态所得的数据序列如下：1110010011111110011110111111001111111110001101101111011011010111101110111101111110011011111100111设Xn为第n(n=12…97)个时段的计算机状态可以认为它是一个齐次马氏链.求(1)一步转移概率矩阵;(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0问在此条件下从此时段起该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.解:(1)设Xn为第n(n=12…97)个时段的计算机状态可以认为它是一个齐次马氏链状态空间I={01}96次状态转移情况是：0→0：8次；0→1：18次；1→0：18次；1→1：52次；因此一步转移概率可用频率近似地表示为：110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130§4马尔可夫链的状态分类一些基本状态类型、概率性质及其关系状态空间的分解极限特性与平稳分布一、可达与相通可达的定义：对给定的两个状态i和j若存在正整数n≥1使得pij(n)﹥0则称从状态i可到达状态j记为i→j；否则称从状态i不可到达状态j记为i→j。若从状态i不可到达状态j时一个齐次马尔可夫链对于一切n(≥1)总有pij(n)=0。相通的定义：给定的两个状态i和j如果从状态i可到达状态j即i→j；而且从状态j也可到达状态i即j→i则称状态i与状态j相通记为i←→j。定理：可达和相通都具有传递性。即若i→kk→j则i→j；若i←→kk←→j则i←→j。[证]若i→kk→j则由定义存在m≥1和n≥1使pik(m)﹥0pkj(n)﹥0根据切普曼－柯尔莫哥洛夫方程状态到达时间定义：对于任意的ij∈E从状态i出发到达状态j的步长。首达时间定义：对于任意的ij∈Em时刻从状态i出发经过n步首次到达状态j的时间称为从状态i到达状态j的首达时间。即从状态i出发到达状态j的最小步长n。首达时间是一随机变量取值于集合{12…∞}。Tij=∞i→jTii表示从状态i出发首次回到状态i的时间。首达概率定义：对于任意的ij∈Em时刻从状态i出发经过n步首次到达状态j的概率称为首达概率。显然迟早到达概率定义：对于任意的ij∈Em时刻从状态i出发迟早到达状态j的概率定义为显然平均转移时间定义：定义条件数学期望为从状态i出发首次到达状态j的平均转移时间或平均转移步数。当i=j时