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直线与圆锥曲线位置关系的复习点拨
浙江省上虞中学（312300）
谢全苗
圆锥曲线的综合问题是教学的重点，也是新旧高考命题的重点与热点，特别是直线与圆锥曲线的位置关系问题，由于它与其他知识联系既多又广，因此，它的题型多而又活，常考常新，因此，在复习中既要重视与函数、不等式、数列、三角、向量等知识的横向联系与综合应用，又活用函数与方程思想，等价转化与数形结合的思想，并在解题中注意采用一定的策略来优化解答，简化运算．下面来举例说明
1．设而不求，用好点差法
有关椭圆弦的中点轨迹、中点弦所在直线的方程、中点坐标等问题，常用“点差法”，来设而不求，简化运算．并有下列常用的结论：
椭圆（双曲线）的离心率与其弦的中点（或原点到中点的斜率）与其斜率的关系式：
＝＝（焦点在Ｘ轴上）（１）
＝＝（焦点在Ｙ轴上）（２）
例１若椭圆与直线交于A，B两点，过原点与线段AB的中点的连线的斜率为．求证：为定值．
解：设弦AB的端点坐标分别为，中点为，代入椭圆方程，相减即得：，由于，，所以，即为定值．
点拨：本问题原本有一定的运算，但这里运用“点差法”，设而不求，简化了运算．
２．活用方程思想，用好韦达定理与
直线与圆锥曲线的位置关系从数的方面来说是由它们的方程组的解的情况来确定的，即斜率为的直线方程代入圆锥曲线的方程，消去（或）得到一个关于变量（或）的一元二次方程（或），则不但可用韦达定理与来求弦长（或），而且求解“范围”问题也要常用韦达定理与来构造不等式（注意二次顶系数，有时需要讨论）．
例２是否存在圆锥曲线Ｃ，同时满足下列两个条件：①原点Ｏ及直线为它的焦点与准线；②被直线垂直平分的弦长为．
解：由题意可设Ｃ的方程为＝，即⑴
被直线垂直平分的弦的端点坐标分别为，直线AB的方程为⑵

把⑵代入⑴得：⑶

∴，
而AB的中点在上，即有，从而方程⑶为

∴=，∴，
∴所求曲线的方程为．
点拨：本题中首先要根据题设条件，用第二定义确定了圆锥曲线的方程①（这对学生来说常常会是个难点），然后用方程思想，由韦达定理与弦长公式求出离心率．
例３直线与双曲线在左支交于Ａ，Ｂ两点，直线经过点及ＡＢ中点，求直线在轴上的截距的取值范围．
解：将直线代入双曲线，得，
设，
由于直线与双曲线在左支交于Ａ，Ｂ两点，这等价于有两个不等的负根，因此有

＞０

解得．

又∵AB的中点为,∴直线的方程为.
令,得：.
∵,∴.
所以直线在轴上的截距的取值范围是.
点拨：此解的实质上是先求出直线在轴上的截距的表达式，再利用题设条件得出的范围，然后再用的范围去限定的范围，转化为求函数值域，从中沟通了解几与函数联系，活用了方程思想，等价转化的思想．
３．重视横向联系，活用垂直对称
例４抛物线的准线与轴交于Ａ点，过Ａ作直线与抛物线交于Ｍ，Ｎ两点，点Ｂ在抛物线的对称轴上，且．①求的取值范围；②是否存在这样的点Ｂ，使得为等腰直角三角形，且∠Ｂ＝．若存在，求出点Ｂ；若不存在，说明理由．
解①：的准线，Ａ（０，２），设MN的中点为P，
∵，∴PB垂直平分线段MN．设ＭＮ的方程为，代入得：，
由．
且，
∴PB的直线方程为:,令,
得:,
②设存在，，，
由，得，
，
由韦达定理得：+，
．
所以为所求．
点拨：有关圆锥曲线关于直线的垂直、对称问题是圆锥曲线与直线位置关系中的典型问题，解答时要抓住这一位置特征，活用相关知识．如本题中先根据向量知识知，由，知PB垂直平分线段MN，后又由∠Ｂ＝，即，用上了韦达定理，从而使问题顺利获解．如若是对称点，则应抓住的中点在上及这两个关键条件来解决问题，对此，限于篇幅，不再一一举例．